Question

Un grupo de $12$ piratas acuerda repartirse un cofre del tesoro lleno de monedas de oro de la siguiente manera. El $k$ -ésimo pirata en tomar su parte se lleva $\dfrac{k}{12}$ de las monedas que quedan en el cofre. El número de monedas que hay inicialmente en el cofre es el menor número para el cual este arreglo permite que cada pirata reciba un número entero positivo de monedas. ¿Cuántas monedas recibe el $12$ -ésimo pirata?

A group of $12$ pirates agree to divide a treasure chest of gold coins among themselves as follows. The $k$ th pirate to take a share takes $\dfrac{k}{12}$ of the coins that remain in the chest. The number of coins initially in the chest is the smallest number for which this arrangement will allow each pirate to receive a positive whole number of coins. How many coins does the $12$ th pirate receive?

$720$

$1296$

$1728$

$1925$

$3850$

Solución:

Para $1 \le k \le 11$ , el número de monedas antes de que el $k$ -ésimo pirata tome su parte es $\dfrac{12}{12 - k}$ veces el número posterior. Así que si quedan $n$ monedas para el $12$ -ésimo pirata, el conteo inicial es $\dfrac{12^{11}\, n}{11!} = \dfrac{2^{14}\cdot 3^{7}\, n}{5^2\cdot 7\cdot 11}.$

El menor $n$ que hace de esto un entero positivo es $5^2\cdot 7\cdot 11 = 1925$ , y se comprueba que cada pirata anterior recibe entonces un número entero de monedas. El $12$ -ésimo pirata recibe $1925$ monedas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $1 \le k \le 11,$ the number of coins before the $k$ th pirate takes a share is $\dfrac{12}{12 - k}$ times the number afterward. So if $n$ coins are left for the $12$ th pirate, the initial count is $\dfrac{12^{11}\, n}{11!} = \dfrac{2^{14}\cdot 3^{7}\, n}{5^2\cdot 7\cdot 11}.$

The smallest $n$ making this a positive integer is $5^2\cdot 7\cdot 11 = 1925,$ and one checks each earlier pirate then receives a whole number of coins. The $12$ th pirate receives $1925$ coins.

Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 12A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años