Question

¿Cuántos arreglos $4 \times 4$ cuyas entradas son $0$ y $1$ hay tales que las sumas de filas (la suma de las entradas de cada fila) sean $1, 2, 3,$ y $4,$ en algún orden, y las sumas de columnas (la suma de las entradas de cada columna) sean también $1, 2, 3,$ y $4,$ en algún orden? Por ejemplo, el arreglo $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ satisface la condición.

How many $4 \times 4$ arrays whose entries are $0$ s and $1$ s are there such that the row sums (the sum of the entries in each row) are $1, 2, 3,$ and $4,$ in some order, and the column sums (the sum of the entries in each column) are also $1, 2, 3,$ and $4,$ in some order? For example, the array $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ satisfies the condition.

$144$

$240$

$336$

$576$

$624$

Solución:

La fila de suma $4$ es toda de $1$ y la columna de suma $4$ es toda de $1$ . Hay $4!$ maneras de asignar las sumas de filas $1, 2, 3, 4$ a las cuatro filas, y $4$ opciones para cuál columna tiene suma $4.$

Elimina esa columna. El arreglo $4 \times 3$ restante tiene sumas de filas $0, 1, 2, 3$ y debe tener sumas de columnas $1, 2, 3.$ Las filas todo-cero y todo-uno quedan forzadas; las filas de suma reducida $1$ y $2$ se pueden colocar de $6$ maneras para producir sumas de columnas $1, 2, 3$ en algún orden.

El total es $24 \cdot 4 \cdot 6 = 576.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The row with sum $4$ is all $1$ s and the column with sum $4$ is all $1$ s. There are $4!$ ways to assign the row sums $1, 2, 3, 4$ to the four rows, and $4$ choices for which column has sum $4.$

Delete that column. The remaining $4 \times 3$ array has row sums $0, 1, 2, 3$ and must have column sums $1, 2, 3.$ The all-zero and all-one rows are forced; the rows of reduced sum $1$ and $2$ can be placed in $6$ ways to produce column sums $1, 2, 3$ in some order.

The total is $24 \cdot 4 \cdot 6 = 576.$

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años