Question

Sea $P(x)$ un polinomio tal que cuando $P(x)$ se divide entre $x - 19,$ el residuo es $99,$ y cuando $P(x)$ se divide entre $x - 99,$ el residuo es $19.$ ¿Cuál es el residuo cuando $P(x)$ se divide entre $(x - 19)(x - 99)$ ?

Let $P(x)$ be a polynomial such that when $P(x)$ is divided by $x - 19,$ the remainder is $99,$ and when $P(x)$ is divided by $x - 99,$ the remainder is $19.$ What is the remainder when $P(x)$ is divided by $(x - 19)(x - 99)?$

$-x + 80$

$x + 80$

$-x + 118$

$x + 118$

$0$

Solución:

Por el Teorema del Residuo, $P(19) = 99$ y $P(99) = 19.$ Escribe $\begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b. \end{aligned}$ Entonces $19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19.$

Al restar se obtiene $80a = -80,$ así que $a = -1$ y $b = 118.$ El residuo es $-x + 118.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By the Remainder Theorem, $P(19) = 99$ and $P(99) = 19.$ Write $\begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b. \end{aligned}$ Then $19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19.$

Subtracting gives $80a = -80,$ so $a = -1$ and $b = 118.$ The remainder is $-x + 118.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años