Question

Círculos con radios $1,$ $2,$ y $3$ son mutuamente tangentes exteriores. ¿Cuál es el área del triángulo determinado por los puntos de tangencia?

Circles with radii $1,$ $2,$ and $3$ are mutually externally tangent. What is the area of the triangle determined by the points of tangency?

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

$\dfrac{6}{5}$

$\dfrac{4}{3}$

Solución:

Los centros están separados por las sumas de radios: $3,$ $4,$ y $5,$ un triángulo rectángulo con el ángulo recto en el centro de radio $1$ . Coloca ese centro en $(0,0),$ el centro de radio $2$ en $(3,0),$ y el centro de radio $3$ en $(0,4).$

Los puntos de tangencia están sobre los segmentos a distancias iguales a los radios: $(1, 0),$ $(0, 1),$ y sobre la hipotenusa en $(3,0) + 2 \cdot \tfrac{(-3,4)}{5} = \left(\tfrac95, \tfrac85\right).$

Por la fórmula del cordón, el área es $\begin{gathered} \tfrac12\left| 1\left(1 - \tfrac85\right) + 0 + \tfrac95(0 - 1) \right| \\ = \tfrac12 \cdot \tfrac{12}{5} = \tfrac65. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The centers are separated by the sums of radii: $3,$ $4,$ and $5,$ a right triangle with the right angle at the radius- $1$ center. Place that center at $(0,0),$ the radius- $2$ center at $(3,0),$ and the radius- $3$ center at $(0,4).$

The tangency points lie on the segments at distances equal to the radii: $(1, 0),$ $(0, 1),$ and on the hypotenuse at $(3,0) + 2 \cdot \tfrac{(-3,4)}{5} = \left(\tfrac95, \tfrac85\right).$

By the shoelace formula the area is $\begin{gathered} \tfrac12\left| 1\left(1 - \tfrac85\right) + 0 + \tfrac95(0 - 1) \right| \\ = \tfrac12 \cdot \tfrac{12}{5} = \tfrac65. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años