Question

Una moneda está sesgada de tal manera que en cada lanzamiento la probabilidad de cara es $\dfrac{2}{3}$ y la probabilidad de cruz es $\dfrac{1}{3}.$ Los resultados de los lanzamientos son independientes. Un jugador puede elegir jugar el Juego A o el Juego B. En el Juego A lanza la moneda tres veces y gana si los tres resultados son iguales. En el Juego B lanza la moneda cuatro veces y gana si tanto los resultados del primer y segundo lanzamiento son iguales como los del tercer y cuarto lanzamiento son iguales. ¿Cómo se comparan las probabilidades de ganar el Juego A con las de ganar el Juego B?

A coin is biased in such a way that on each toss the probability of heads is $\dfrac{2}{3}$ and the probability of tails is $\dfrac{1}{3}.$ The outcomes of the tosses are independent. A player has the choice of playing Game A or Game B. In Game A she tosses the coin three times and wins if all three outcomes are the same. In Game B she tosses the coin four times and wins if both the outcomes of the first and second tosses are the same and the outcomes of the third and fourth tosses are the same. How do the chances of winning Game A compare to the chances of winning Game B?

La probabilidad de ganar el Juego A es $\dfrac{4}{81}$ menor que la probabilidad de ganar el Juego B.

The probability of winning Game A is $\dfrac{4}{81}$ less than the probability of winning Game B.

La probabilidad de ganar el Juego A es $\dfrac{2}{81}$ menor que la probabilidad de ganar el Juego B.

The probability of winning Game A is $\dfrac{2}{81}$ less than the probability of winning Game B.

Las probabilidades son iguales.

The probabilities are the same.

La probabilidad de ganar el Juego A es $\dfrac{2}{81}$ mayor que la probabilidad de ganar el Juego B.

The probability of winning Game A is $\dfrac{2}{81}$ greater than the probability of winning Game B.

La probabilidad de ganar el Juego A es $\dfrac{4}{81}$ mayor que la probabilidad de ganar el Juego B.

The probability of winning Game A is $\dfrac{4}{81}$ greater than the probability of winning Game B.

Solución:

Sea $p = \dfrac23.$ El Juego A se gana cuando los tres lanzamientos coinciden: $p^3 + (1-p)^3.$ El Juego B requiere que el primer par coincida y que el segundo par coincida, cada uno con probabilidad $p^2 + (1-p)^2,$ por lo que la probabilidad de ganar es $\bigl(p^2 + (1-p)^2\bigr)^2.$ Con $p = \tfrac23,$ el Juego A da $\left(\tfrac23\right)^3 + \left(\tfrac13\right)^3 = \tfrac{9}{27} = \tfrac13,$ y el Juego B da $\left(\tfrac49 + \tfrac19\right)^2 = \left(\tfrac59\right)^2 = \tfrac{25}{81}.$ La diferencia es $\tfrac{27}{81} - \tfrac{25}{81} = \tfrac{2}{81},$ por lo que el Juego A es $\tfrac{2}{81}$ más probable.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $p = \dfrac23.$ Game A is won when all three tosses match: $p^3 + (1-p)^3.$ Game B needs the first pair to match and the second pair to match, each with probability $p^2 + (1-p)^2,$ so the win probability is $\bigl(p^2 + (1-p)^2\bigr)^2.$ With $p = \tfrac23,$ Game A gives $\left(\tfrac23\right)^3 + \left(\tfrac13\right)^3 = \tfrac{9}{27} = \tfrac13,$ and Game B gives $\left(\tfrac49 + \tfrac19\right)^2 = \left(\tfrac59\right)^2 = \tfrac{25}{81}.$ The difference is $\tfrac{27}{81} - \tfrac{25}{81} = \tfrac{2}{81},$ so Game A is $\tfrac{2}{81}$ more likely.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años