Question

Para ciertos números reales $a$ y $b,$ la ecuación $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a = 0$ tiene tres raíces positivas distintas. Si la suma de los logaritmos en base $2$ de las raíces es $5,$ ¿cuál es el valor de $a$ ?

For some real numbers $a$ and $b,$ the equation $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a = 0$ has three distinct positive roots. If the sum of the base- $2$ logarithms of the roots is $5,$ what is the value of $a?$

$-256$

$-64$

$-8$

$64$

$256$

Solución:

La suma de los logaritmos en base $2$ es $\log_2(r_1 r_2 r_3) = 5,$ así que $r_1 r_2 r_3 = 2^5 = 32.$ Por las fórmulas de Vieta en $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a,$ el producto de las raíces es $-\dfrac{a}{8}.$ Por lo tanto $-\dfrac{a}{8} = 32,$ lo que da $a = -256.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum of the base- $2$ logarithms is $\log_2(r_1 r_2 r_3) = 5,$ so $r_1 r_2 r_3 = 2^5 = 32.$ By Vieta's formulas on $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a,$ the product of the roots is $-\dfrac{a}{8}.$ Thus $-\dfrac{a}{8} = 32,$ giving $a = -256.$

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años