Question

Sean $A,$ $B$ y $C$ tres puntos distintos en la gráfica de $y = x^2$ tales que la recta $AB$ es paralela al eje $x$ y $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo de área $2008.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de la coordenada $y$ de $C$ ?

Let $A,$ $B$ and $C$ be three distinct points on the graph of $y = x^2$ such that line $AB$ is parallel to the $x$ -axis and $\triangle ABC$ is a right triangle with area $2008.$ What is the sum of the digits of the $y$ -coordinate of $C?$

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Solución:

Como $AB$ es horizontal, toma $A = (a, a^2)$ y $B = (-a, a^2),$ y sea $C = (c, c^2).$ El ángulo recto no puede estar en $A$ ni en $B$ (eso requeriría $c = \pm a$ ), así que está en $C.$

Entonces $CA \perp CB$ da $(c + a)(c - a) = -1,$ así que $a^2 - c^2 = 1.$ Este valor es la altura del triángulo sobre $\overline{AB}.$

El área es $\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{height}$ $= \tfrac12 (2|a|)(1)$ $= |a| = 2008,$ así que $a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064$ y la coordenada $y$ de $C$ es $c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.$

Su suma de dígitos es $4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $AB$ is horizontal, take $A = (a, a^2)$ and $B = (-a, a^2),$ and let $C = (c, c^2).$ The right angle cannot be at $A$ or $B$ (that would need $c = \pm a$ ), so it is at $C.$

Then $CA \perp CB$ gives $(c + a)(c - a) = -1,$ so $a^2 - c^2 = 1.$ This value is the height of the triangle above $\overline{AB}.$

The area is $\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{height}$ $= \tfrac12 (2|a|)(1)$ $= |a| = 2008,$ so $a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064$ and the $y$ -coordinate of $C$ is $c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.$

Its digit sum is $4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.$

Thus, the correct answer is C.

2008 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años