Question

Sean $A,$ $B$ y $C$ tres puntos distintos en la gráfica de $y = x^2$ tales que la recta $AB$ es paralela al eje $x$ y $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo de área $2008.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de la coordenada $y$ de $C$ ?

Let $A,$ $B$ and $C$ be three distinct points on the graph of $y = x^2$ such that line $AB$ is parallel to the $x$ -axis and $\triangle ABC$ is a right triangle with area $2008.$ What is the sum of the digits of the $y$ -coordinate of $C?$

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Respuesta: C

Conceptos:parábola pendiente área del triángulo dígitos

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Escribe $A = (a, a^2)$ y $B = (-a, a^2);$ como $A, B, C$ tienen coordenadas $x$ distintas, el ángulo recto está en $C$ .

Write $A = (a, a^2)$ and $B = (-a, a^2);$ since $A, B, C$ have distinct $x$ -coordinates, the right angle is at $C$

Pista grande:

Los catetos perpendiculares $CA$ y $CB$ obligan a $a^2 - c^2 = 1,$ la altura sobre $\overline{AB};$ obtén $|a|$ del área, luego $c^2$ .

Perpendicular legs $CA$ and $CB$ force $a^2 - c^2 = 1,$ the height above $\overline{AB};$ get $|a|$ from the area, then $c^2$

Solución:

Como $AB$ es horizontal, tomemos $A = (a, a^2)$ y $B = (-a, a^2),$ y sea $C = (c, c^2).$ El ángulo recto no puede estar en $A$ ni en $B$ (eso exigiría $c = \pm a$ ), así que está en $C.$

Sea $d = a^2-c^2.$ El producto punto de $\overrightarrow{CA}$ y $\overrightarrow{CB}$ da $d(d-1)=0.$ Los puntos son distintos, así que $d \ne 0;$ por tanto, $a^2-c^2=1.$ Este valor es la altura del triángulo sobre $\overline{AB}.$

El área es $\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{altura}$ $= \tfrac12 (2|a|)(1)$ $= |a| = 2008,$ así que $a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064$ y la coordenada $y$ de $C$ es $c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.$

Su suma de dígitos es $4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $AB$ is horizontal, take $A = (a, a^2)$ and $B = (-a, a^2),$ and let $C = (c, c^2).$ The right angle cannot be at $A$ or $B$ (that would need $c = \pm a$ ), so it is at $C.$

Put $d = a^2-c^2.$ Taking the dot product of $\overrightarrow{CA}$ and $\overrightarrow{CB}$ gives $d(d-1)=0.$ The points are distinct, so $d \ne 0;$ hence $a^2-c^2=1.$ This value is the height of the triangle above $\overline{AB}.$

The area is $\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{height}$ $= \tfrac12 (2|a|)(1)$ $= |a| = 2008,$ so $a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064$ and the $y$ -coordinate of $C$ is $c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.$

Its digit sum is $4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.$

Thus, the correct answer is C.

2008 AMC 12B Problema 17

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años