Question

Varios conjuntos de números primos, como $\{7, 83, 421, 659\},$ usan cada uno de los nueve dígitos no nulos exactamente una vez. ¿Cuál es la menor suma posible que podría tener tal conjunto de primos?

Several sets of prime numbers, such as $\{7, 83, 421, 659\},$ use each of the nine nonzero digits exactly once. What is the smallest possible sum such a set of primes could have?

$193$

$207$

$225$

$252$

$477$

Respuesta: B

Conceptos:primo dígitos optimización

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Los dígitos $4, 6, 8$ no pueden terminar un primo de más de un dígito, así que cada uno debe ser un dígito de las decenas.

The digits $4, 6, 8$ cannot end a prime past one digit, so each must be a tens digit

Pista grande:

Esos tres aportan al menos $40 + 60 + 80,$ y los seis dígitos restantes al menos su propia suma como dígitos de las unidades; luego verifique que exista un conjunto válido.

Those three contribute at least $40 + 60 + 80,$ and the remaining six digits at least their own sum as units digits; then check a valid set exists

Solución:

Los dígitos pares $4, 6, 8$ no pueden ser el dígito de las unidades de un primo de varios dígitos, así que cada uno debe aparecer en las decenas o más, aportando al menos $40 + 60 + 80 = 180.$ Los otros seis dígitos aportan al menos $1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27,$ así que la suma es al menos $207.$

Esta cota se alcanza, por ejemplo con $\{2, 3, 5, 41, 67, 89\},$ cuya suma es $207.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The even digits $4, 6, 8$ cannot be the units digit of a multi-digit prime, so each must appear in a tens place or higher, contributing at least $40 + 60 + 80 = 180.$ The other six digits contribute at least $1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27,$ so the sum is at least $207.$

This bound is achieved, for example by $\{2, 3, 5, 41, 67, 89\},$ whose sum is $207.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12A Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años