Question

Seis esferas de radio $1$ se colocan de modo que sus centros están en los vértices de un hexágono regular de lado $2$ . Las seis esferas son tangentes internamente a una esfera mayor cuyo centro es el centro del hexágono. Una octava esfera es tangente externamente a las seis esferas más pequeñas y tangente internamente a la esfera mayor. ¿Cuál es el radio de esta octava esfera?

Six spheres of radius $1$ are positioned so that their centers are at the vertices of a regular hexagon of side length $2.$ The six spheres are internally tangent to a larger sphere whose center is the center of the hexagon. An eighth sphere is externally tangent to the six smaller spheres and internally tangent to the larger sphere. What is the radius of this eighth sphere?

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$\sqrt{3}$

$2$

Solución:

Cada centro pequeño está a $2$ del centro $O$ , y las esferas pequeñas tienen radio $1$ , así que la esfera grande tiene radio $3$ . Sea $r$ el radio de la octava esfera y $G$ su centro, a distancia $x$ de $O$ ; entonces $x + r = 3$ .

Como $G$ es equidistante de dos vértices opuestos del hexágono, $GO$ es perpendicular a la recta que va a un vértice, y el Teorema de Pitágoras da $\begin{gathered} (r + 1)^2 = 2^2 + x^2 \\ = 4 + (3 - r)^2. \end{gathered}$

Esto se simplifica a $2r + 1 = 13 - 6r$ , así que $r = \tfrac32$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each small center is $2$ from the center $O,$ and the small spheres have radius $1,$ so the large sphere has radius $3.$ Let the eighth sphere have radius $r$ and center $G$ at distance $x$ from $O;$ then $x + r = 3.$

Since $G$ is equidistant from two opposite hexagon vertices, $GO$ is perpendicular to the line to a vertex, and the Pythagorean Theorem gives $\begin{gathered} (r + 1)^2 = 2^2 + x^2 \\ = 4 + (3 - r)^2. \end{gathered}$

This simplifies to $2r + 1 = 13 - 6r,$ so $r = \tfrac32.$

Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años