Question

El año académico pasado, Yolanda y Zelda tomaron cursos diferentes que no necesariamente aplicaron la misma cantidad de exámenes cortos durante cada uno de los dos semestres. El promedio de Yolanda en todos los exámenes cortos que tomó durante el primer semestre fue $3$ puntos más alto que el promedio de Zelda en todos los exámenes cortos que tomó durante el primer semestre. El promedio de Yolanda en todos los exámenes cortos que tomó durante el segundo semestre fue $18$ puntos más alto que su promedio del primer semestre, y de nuevo fue $3$ puntos más alto que el promedio de Zelda en todos los exámenes cortos que Zelda tomó durante su segundo semestre. ¿Cuál de los siguientes enunciados no puede ser verdadero de ninguna manera?

Last academic year Yolanda and Zelda took different courses that did not necessarily administer the same number of quizzes during each of the two semesters. Yolanda's average on all the quizzes she took during the first semester was $3$ points higher than Zelda's average on all the quizzes she took during the first semester. Yolanda's average on all the quizzes she took during the second semester was $18$ points higher than her average for the first semester and was again $3$ points higher than Zelda's average on all the quizzes Zelda took during her second semester. Which one of the following statements cannot possibly be true?

El promedio de exámenes cortos de Yolanda en el año académico fue $22$ puntos más alto que el de Zelda.

Yolanda's quiz average for the academic year was $22$ points higher than Zelda's.

El promedio de exámenes cortos de Zelda en el año académico fue más alto que el de Yolanda.

Zelda's quiz average for the academic year was higher than Yolanda's.

El promedio de exámenes cortos de Yolanda en el año académico fue $3$ puntos más alto que el de Zelda.

Yolanda's quiz average for the academic year was $3$ points higher than Zelda's.

El promedio de exámenes cortos de Zelda en el año académico fue igual al de Yolanda.

Zelda's quiz average for the academic year equaled Yolanda's.

Si Zelda hubiera obtenido $3$ puntos más en cada examen corto que tomó, entonces habría tenido el mismo promedio del año académico que Yolanda.

If Zelda had scored $3$ points higher on each quiz she took, then she would have had the same average for the academic year as Yolanda.

Solución:

Fija el promedio de Zelda del primer semestre en $0.$ Entonces el primer semestre de Yolanda es $3,$ su segundo semestre es $3+18=21,$ y el segundo semestre de Zelda es $21-3=18.$ El promedio anual de cada persona es un promedio ponderado de sus dos promedios semestrales, así que el promedio anual de Yolanda está entre $3$ y $21,$ y el de Zelda está entre $0$ y $18.$ La mayor diferencia posible Yolanda $-$ Zelda es por lo tanto a lo sumo $21-0=21,$ así que nunca puede ser $22.$ Todos los demás enunciados son alcanzables para cantidades de exámenes adecuadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Set Zelda's first-semester average to $0.$ Then Yolanda's first semester is $3,$ her second semester is $3+18=21,$ and Zelda's second semester is $21-3=18.$ Each person's yearly average is a weighted average of their two semester averages, so Yolanda's year average lies between $3$ and $21,$ and Zelda's lies between $0$ and $18.$ The largest possible gap Yolanda $-$ Zelda is therefore at most $21-0=21,$ so it can never be $22.$ All the other statements are achievable for suitable quiz counts.

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años