Question

El año académico pasado, Yolanda y Zelda tomaron cursos diferentes que no necesariamente aplicaron la misma cantidad de exámenes cortos durante cada uno de los dos semestres. El promedio de Yolanda en todos los exámenes cortos que tomó durante el primer semestre fue $3$ puntos más alto que el promedio de Zelda en todos los exámenes cortos que tomó durante el primer semestre. El promedio de Yolanda en todos los exámenes cortos que tomó durante el segundo semestre fue $18$ puntos más alto que su promedio del primer semestre, y de nuevo fue $3$ puntos más alto que el promedio de Zelda en todos los exámenes cortos que Zelda tomó durante su segundo semestre. ¿Cuál de los siguientes enunciados no puede ser verdadero de ninguna manera?

Last academic year Yolanda and Zelda took different courses that did not necessarily administer the same number of quizzes during each of the two semesters. Yolanda’s average on all the quizzes she took during the first semester was $3$ points higher than Zelda’s average on all the quizzes she took during the first semester. Yolanda’s average on all the quizzes she took during the second semester was $18$ points higher than her average for the first semester and was again $3$ points higher than Zelda’s average on all the quizzes Zelda took during her second semester. Which one of the following statements cannot possibly be true?

El promedio de exámenes cortos de Yolanda en el año académico fue $22$ puntos más alto que el de Zelda.

Yolanda’s quiz average for the academic year was $22$ points higher than Zelda’s.

El promedio de exámenes cortos de Zelda en el año académico fue más alto que el de Yolanda.

Zelda’s quiz average for the academic year was higher than Yolanda’s.

El promedio de exámenes cortos de Yolanda en el año académico fue $3$ puntos más alto que el de Zelda.

Yolanda’s quiz average for the academic year was $3$ points higher than Zelda’s.

El promedio de exámenes cortos de Zelda en el año académico fue igual al de Yolanda.

Zelda’s quiz average for the academic year equaled Yolanda’s.

Si Zelda hubiera obtenido $3$ puntos más en cada examen corto que tomó, entonces habría tenido el mismo promedio del año académico que Yolanda.

If Zelda had scored $3$ points higher on each quiz she took, then she would have had the same average for the academic year as Yolanda.

Respuesta: A

Conceptos:media ponderada desigualdad deducción lógica

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Sea el promedio de Zelda del primer semestre $0,$ y escribe los otros tres promedios semestrales usando las diferencias dadas

Let Zelda’s first-semester average be $0,$ and write the other three semester averages using the given gaps

Pista grande:

Si $p,q$ son las fracciones de los exámenes cortos de Yolanda y de Zelda tomados en el segundo semestre, la diferencia entre sus promedios anuales es $3+18(p-q)$

If $p,q$ are the fractions of Yolanda’s and Zelda’s quizzes taken in semester two, their yearly-average difference is $3+18(p-q)$

Solución:

Restar el promedio del primer semestre de Zelda de los cuatro promedios semestrales no cambia la comparación. Podemos escribir entonces los promedios como $0,18$ para Zelda y $3,21$ para Yolanda. Sean $p$ y $q$ las fracciones de los exámenes de Yolanda y Zelda, respectivamente, que ocurrieron en el segundo semestre. La diferencia entre sus promedios anuales es $(3+18p)-18q=3+18(p-q).$ Como $0\lt p,q\lt 1,$ esta diferencia es menor que $21,$ así que no puede ser $22.$

Las otras opciones sí pueden ocurrir. Tomar $(p,q)=(\tfrac14,\tfrac34)$ hace que el promedio de Zelda sea mayor; tomar $p=q$ hace que el promedio de Yolanda sea $3$ puntos mayor (y también verifica la última opción después de sumar $3$ a cada calificación de Zelda); y tomar $(p,q)=(\tfrac13,\tfrac12)$ hace iguales los promedios anuales. Cada fracción mostrada se puede obtener con cantidades enteras positivas de exámenes.

Así, la respuesta correcta es A.

Subtracting Zelda’s first-semester average from all four semester averages does not affect the comparison. We may therefore write the semester averages as $0,18$ for Zelda and $3,21$ for Yolanda. Let $p$ and $q$ be the fractions of Yolanda’s and Zelda’s quizzes, respectively, that occurred in the second semester. Their yearly-average difference is $(3+18p)-18q=3+18(p-q).$ Because $0\lt p,q\lt 1,$ this difference is less than $21,$ so it cannot be $22.$

The other options really can occur. Taking $(p,q)=(\tfrac14,\tfrac34)$ makes Zelda’s average higher; taking $p=q$ makes Yolanda’s average $3$ points higher (and also verifies the last option after adding $3$ to every Zelda score); and taking $(p,q)=(\tfrac13,\tfrac12)$ makes the yearly averages equal. Each displayed fraction can be realized by positive integer quiz counts.

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12B Problema 18

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años