Question

Primero se elige $a$ al azar del conjunto $\{1,2,3,\ldots,99,100\},$ y luego se elige $b$ al azar del mismo conjunto. La probabilidad de que el entero $3^a+7^b$ tenga como dígito de las unidades el $8$ es

First $a$ is chosen at random from the set $\{1,2,3,\ldots,99,100\},$ and then $b$ is chosen at random from the same set. The probability that the integer $3^a+7^b$ has units digit $8$ is

$\frac1{16}$

$\frac18$

$\frac3{16}$

$\frac15$

$\frac14$

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular probability exponent cycle

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Los dígitos de las unidades de ambas potencias se repiten con período $4$

The units digits of both powers repeat with period $4$

Pista grande:

Enumera los pares de residuos $(a\bmod4,b\bmod4)$ que producen un dígito de las unidades igual a $8$

List the residue pairs $(a\bmod4,b\bmod4)$ that produce a units digit of $8$

Solución:

Los dígitos de las unidades de $3^a$ para $a\equiv1,2,3,0\pmod4$ son $3,9,7,1,$ mientras que los de $7^b$ son $7,9,3,1.$ Una suma que termina en $8$ corresponde a los pares de residuos $\begin{aligned} (a,b)\equiv{}&(2,2),(3,0),\\ &(0,1)\pmod4. \end{aligned}$ Cada residuo aparece $25$ veces entre $1,\ldots,100,$ así que la probabilidad es $\frac{3}{16}.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

The units digits of $3^a$ for $a\equiv1,2,3,0\pmod4$ are $3,9,7,1,$ while those of $7^b$ are $7,9,3,1.$ A sum ending in $8$ occurs for the residue pairs $\begin{aligned} (a,b)\equiv{}&(2,2),(3,0),\\ &(0,1)\pmod4. \end{aligned}$ Each residue occurs $25$ times among $1,\ldots,100,$ so the probability is $\frac{3}{16}.$

Thus the correct answer is C.

1990 AMC 12 Problema 18

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años