Question

Una función $f$ se define recursivamente por $f(1)=f(2)=1$ y $f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n$ para todos los enteros $n\ge3.$ ¿Cuánto vale $f(2018)$ ?

A function $f$ is defined recursively by $f(1)=f(2)=1$ and $f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n$ for all integers $n\ge3.$ What is $f(2018)?$

$2016$

$2017$

$2018$

$2019$

$2020$

Sustituyendo repetidamente la recursión en sí misma se obtiene $f(n)=f(n-6)+6.$ Así que $f$ aumenta en $6$ cada vez que $n$ aumenta en $6.$

Como $2018=2+6\cdot336,$ tenemos $f(2018)=f(2)+6\cdot336$ $=1+2016=2017.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Repeatedly substituting the recursion into itself gives $f(n)=f(n-6)+6.$ So $f$ increases by $6$ every time $n$ increases by $6.$

Since $2018=2+6\cdot336,$ we have $f(2018)=f(2)+6\cdot336$ $=1+2016=2017.$

Thus, the correct answer is B.