Question

Una pirámide tiene una base cuadrada con lados de longitud $1$ y sus caras laterales son triángulos equiláteros. Se coloca un cubo dentro de la pirámide de modo que una cara está sobre la base de la pirámide y su cara opuesta tiene todas sus aristas sobre las caras laterales de la pirámide. ¿Cuál es el volumen de este cubo?

A pyramid has a square base with sides of length $1$ and has lateral faces that are equilateral triangles. A cube is placed within the pyramid so that one face is on the base of the pyramid and its opposite face has all its edges on the lateral faces of the pyramid. What is the volume of this cube?

$5\sqrt{2}-7$

$7-4\sqrt{3}$

$\dfrac{2\sqrt{2}}{27}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{9}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{9}$

Solución:

Sea $A$ el ápice y sea el cuadrado $BCDE$ la base. Entonces $AB=AD=1$ y $BD=\sqrt2,$ así que $\triangle BAD$ es un triángulo rectángulo isósceles.

Sea $x$ la longitud de arista del cubo. Su intersección con el plano de $\triangle BAD$ es un rectángulo de altura $x$ y ancho $\sqrt2\,x,$ cuyas esquinas superiores están sobre $AB$ y $AD.$ Como los catetos $AB$ y $AD$ se encuentran con la base a $45^\circ,$ cada porción de $BD$ fuera del rectángulo tiene longitud $x,$ así que $\sqrt2=BD=\sqrt2\,x+2x,$ lo que se reduce a $x=\dfrac{\sqrt2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-1.$

El volumen es $(\sqrt2-1)^3=5\sqrt2-7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the apex be $A$ and the base be square $BCDE.$ Then $AB=AD=1$ and $BD=\sqrt2,$ so $\triangle BAD$ is an isosceles right triangle.

Let the cube have edge length $x.$ Its intersection with the plane of $\triangle BAD$ is a rectangle of height $x$ and width $\sqrt2\,x,$ whose top corners lie on $AB$ and $AD.$ Because the legs $AB$ and $AD$ meet the base at $45^\circ,$ each portion of $BD$ outside the rectangle has length $x,$ so $\sqrt2=BD=\sqrt2\,x+2x,$ which reduces to $x=\dfrac{\sqrt2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-1.$

The volume is $(\sqrt2-1)^3=5\sqrt2-7.$

Thus, the correct answer is A.

2011 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años