Question

Llamamos a un número «de apariencia prima» si es compuesto pero no divisible por $2, 3,$ o $5.$ Los tres números de apariencia prima más pequeños son $49, 77,$ y $91.$ Hay $168$ números primos menores que $1000.$ ¿Cuántos números de apariencia prima hay menores que $1000$ ?

Call a number "prime-looking" if it is composite but not divisible by $2, 3,$ or $5.$ The three smallest prime-looking numbers are $49, 77,$ and $91.$ There are $168$ prime numbers less than $1000.$ How many prime-looking numbers are there less than $1000?$

$100$

$102$

$104$

$106$

$108$

Solución:

Entre los $999$ números del $1$ al $999,$ la inclusión-exclusión da $\begin{aligned} &499 + 333 + 199 - 166 \\ &\quad {}- 99 - 66 + 33 = 733 \end{aligned}$ que son divisibles por $2, 3,$ o $5.$

Eso deja $999 - 733 = 266$ números coprimos con $2, 3, 5.$ De estos, $165$ son primos (los $168$ primos menos $2, 3, 5$ ), y $1$ no es ni primo ni compuesto.

Los $266 - 165 - 1 = 100$ números restantes son de apariencia prima.

Así, la respuesta correcta es A.

Among the $999$ numbers from $1$ to $999,$ inclusion-exclusion gives $\begin{aligned} &499 + 333 + 199 - 166 \\ &\quad {}- 99 - 66 + 33 = 733 \end{aligned}$ that are divisible by $2, 3,$ or $5.$

That leaves $999 - 733 = 266$ numbers coprime to $2, 3, 5.$ Of these, $165$ are primes (the $168$ primes minus $2, 3, 5$ ), and $1$ is neither prime nor composite.

The remaining $266 - 165 - 1 = 100$ numbers are prime-looking.

Thus, the correct answer is A.

2005 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años