Question

Barbara y Jenna juegan el siguiente juego, en el que se turnan. Sobre una mesa hay cierta cantidad de monedas. Cuando es el turno de Barbara, debe quitar $2$ o $4$ monedas, a menos que quede una sola moneda, en cuyo caso pierde su turno. Cuando es el turno de Jenna, debe quitar $1$ o $3$ monedas. Un lanzamiento de moneda determina quién empieza. Quien quite la última moneda gana el juego. Supón que ambas jugadoras usan su mejor estrategia. ¿Quién ganará cuando el juego empieza con $2013$ monedas y cuando el juego empieza con $2014$ monedas?

Barbara and Jenna play the following game, in which they take turns. A number of coins lie on a table. When it is Barbara's turn, she must remove $2$ or $4$ coins, unless only one coin remains, in which case she loses her turn. When it is Jenna's turn, she must remove $1$ or $3$ coins. A coin flip determines who goes first. Whoever removes the last coin wins the game. Assume both players use their best strategy. Who will win when the game starts with $2013$ coins and when the game starts with $2014$ coins?

Barbara ganará con $2013$ monedas, y Jenna ganará con $2014$ monedas.

Barbara will win with $2013$ coins, and Jenna will win with $2014$ coins.

Jenna ganará con $2013$ monedas, y quien empiece ganará con $2014$ monedas.

Jenna will win with $2013$ coins, and whoever goes first will win with $2014$ coins.

Barbara ganará con $2013$ monedas, y quien vaya en segundo lugar ganará con $2014$ monedas.

Barbara will win with $2013$ coins, and whoever goes second will win with $2014$ coins.

Jenna ganará con $2013$ monedas, y Barbara ganará con $2014$ monedas.

Jenna will win with $2013$ coins, and Barbara will win with $2014$ coins.

Quien empiece ganará con $2013$ monedas, y quien vaya en segundo lugar ganará con $2014$ monedas.

Whoever goes first will win with $2013$ coins, and whoever goes second will win with $2014$ coins.

Solución:

Trabaja módulo $5.$ Con $2013 \equiv 3$ monedas, Jenna gana de cualquier manera: si empieza, quita $3$ para dejar un múltiplo de $5,$ luego responde al $2$ de Barbara con $3$ y al $4$ con $1$ para conservar múltiplos de $5,$ y finalmente toma la última moneda; si va en segundo lugar, mantiene la cantidad $\equiv 3 \pmod 5$ hasta que Barbara queda atascada en $3$ monedas, debe quitar $2,$ y le deja a Jenna la última moneda. Con $2014 \equiv 4$ monedas, gana quien empiece: Jenna, si empieza, reduce al caso de $2013$ , mientras que Barbara, si empieza, quita $4$ y luego conserva múltiplos de $5.$ Esta es la opción B. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Work modulo $5.$ With $2013 \equiv 3$ coins, Jenna wins either way: going first she takes $3$ to leave a multiple of $5,$ then answers Barbara's $2$ with $3$ and $4$ with $1$ to keep multiples of $5,$ eventually taking the last coin; going second she keeps the count $\equiv 3 \pmod 5$ until Barbara is stuck at $3$ coins, must remove $2,$ and leaves Jenna the last coin. With $2014 \equiv 4$ coins, whoever goes first wins: Jenna first reduces to the $2013$ case, while Barbara first takes $4$ and then keeps multiples of $5.$ This is choice B. Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años