Question

El triángulo $ABC,$ con lados de longitud $5,$ $6,$ y $7,$ tiene un vértice en el eje $x$ positivo, uno en el eje $y$ positivo, y uno en el eje $z$ positivo. Sea $O$ el origen. ¿Cuál es el volumen del tetraedro $OABC$ ?

Triangle $ABC,$ with sides of length $5,$ $6,$ and $7,$ has one vertex on the positive $x$ -axis, one on the positive $y$ -axis, and one on the positive $z$ -axis. Let $O$ be the origin. What is the volume of tetrahedron $OABC?$

$\sqrt{85}$

$\sqrt{90}$

$\sqrt{95}$

$10$

$\sqrt{105}$

Respuesta: C

Conceptos:Geometría 3D sistema de ecuaciones volumen

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Sean los vértices $(a, 0, 0),$ $(0, b, 0),$ $(0, 0, c)$ y escribe las tres ecuaciones de longitudes de lado.

Let the vertices be $(a, 0, 0),$ $(0, b, 0),$ $(0, 0, c)$ and write the three side-length equations

Pista grande:

Sumar las tres ecuaciones da $a^2 + b^2 + c^2,$ y el volumen es $\tfrac{1}{6}abc$ .

Adding the three equations gives $a^2 + b^2 + c^2,$ and the volume is $\tfrac{1}{6}abc$

Solución:

Sean $A = (a, 0, 0),$ $B = (0, b, 0),$ $C = (0, 0, c).$ Asignando los lados, $\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49. \end{aligned}$

Sumando se obtiene $a^2 + b^2 + c^2 = 55,$ así que $a^2 = 19,$ $b^2 = 6,$ y $c^2 = 30.$

El volumen es $\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95}. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $A = (a, 0, 0),$ $B = (0, b, 0),$ $C = (0, 0, c).$ Assigning the sides, $\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49. \end{aligned}$

Adding gives $a^2 + b^2 + c^2 = 55,$ so $a^2 = 19,$ $b^2 = 6,$ and $c^2 = 30.$

The volume is $\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95}. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 18

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años