Question

Los números de Fibonacci se definen por $F_1 = 1,$ $F_2 = 1,$ y $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ para $n \ge 3.$ ¿Cuánto vale

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?$

The Fibonacci numbers are defined by $F_1 = 1,$ $F_2 = 1,$ and $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ for $n \ge 3.$ What is

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?$

$318$

$319$

$320$

$321$

$322$

Respuesta: B

Conceptos:Fibonacci sumatoria

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Cada término se simplifica: $\dfrac{F_{2k}}{F_k}$ es un entero; calcula los primeros, como $\dfrac{F_2}{F_1} = 1,$ $\dfrac{F_4}{F_2} = 3,$ $\dfrac{F_6}{F_3} = 4$ .

Each term simplifies: $\dfrac{F_{2k}}{F_k}$ is an integer; compute the first few, such as $\dfrac{F_2}{F_1} = 1,$ $\dfrac{F_4}{F_2} = 3,$ $\dfrac{F_6}{F_3} = 4$

Pista grande:

Estos valores son los números de Lucas $L_k = 1, 3, 4, 7, 11, \ldots;$ suma $L_1$ hasta $L_{10}$ .

These values are the Lucas numbers $L_k = 1, 3, 4, 7, 11, \ldots;$ sum $L_1$ through $L_{10}$

Solución:

Como $F_{2k} = F_k L_k$ donde $L_k$ es el $k$ -ésimo número de Lucas, cada término $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k.$ La suma es $\begin{gathered} L_1 + L_2 + \cdots + L_{10} \\ = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 \\ {}+ 29 + 47 + 76 + 123 \\ = 319. \end{gathered}$ (Equivalentemente, $L_1 + \cdots + L_{10}$ $= L_{12} - 3$ $= 322 - 3 = 319.$ )

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $F_{2k} = F_k L_k$ where $L_k$ is the $k$ th Lucas number, each term $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k.$ The sum is $\begin{gathered} L_1 + L_2 + \cdots + L_{10} \\ = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 \\ {}+ 29 + 47 + 76 + 123 \\ = 319. \end{gathered}$ (Equivalently, $L_1 + \cdots + L_{10}$ $= L_{12} - 3$ $= 322 - 3 = 319.$ )

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años