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2015 AMC 12B Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2015 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2015 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Para cada entero positivo compuesto n,n, define r(n)r(n) como la suma de los factores en la factorización en primos de n.n. Por ejemplo, r(50)=12r(50) = 12 porque la factorización en primos de 5050 es 2⋅52,2 \cdot 5^2, y 2+5+5=12.2 + 5 + 5 = 12. ¿Cuál es el rango de la función r,r, {r(n):n es un entero positivo compuesto}\{r(n) : n \text{ es un entero positivo compuesto}\}?

For every composite positive integer n,n, define r(n)r(n) to be the sum of the factors in the prime factorization of n.n. For example, r(50)=12r(50) = 12 because the prime factorization of 5050 is 2⋅52,2 \cdot 5^2, and 2+5+5=12.2 + 5 + 5 = 12. What is the range of the function r,r, {r(n):n is a composite positive integer}?\{r(n) : n \text{ is a composite positive integer}\}?

el conjunto de los enteros positivos

the set of positive integers

el conjunto de los enteros positivos compuestos

the set of composite positive integers

el conjunto de los enteros positivos pares

the set of even positive integers

el conjunto de los enteros mayores que 33

the set of integers greater than 33

el conjunto de los enteros mayores que 44

the set of integers greater than 44

Respuesta: D
Conceptos:factorización en primosfunción
Nivel de dificultad: 1970
Pista pequeña:

El menor valor proviene del menor compuesto, 4=2⋅24 = 2 \cdot 2.

The smallest value comes from the smallest composite, 4=2⋅24 = 2 \cdot 2

Pista grande:

Muestra que todo entero mayor que 33 se alcanza, por ejemplo r(2k)=2kr(2^k) = 2k y r(2k⋅3)=2k+3r(2^k\cdot 3) = 2k + 3

Show every integer greater than 33 is attained, e.g. r(2k)=2kr(2^k) = 2k and r(2k⋅3)=2k+3r(2^k\cdot 3) = 2k + 3

Solución:

Un número compuesto tiene al menos dos factores primos (con multiplicidad), y el menor primo es 2,2, así que el menor valor posible es 2+2=4.2 + 2 = 4.

Todo entero mayor que 33 se alcanza: r(2k)=2kr(2^k) = 2k cubre los valores pares ≥4,\ge 4, y r(2k⋅3)=2k+3r(2^k\cdot 3) = 2k + 3 cubre los valores impares ≥5.\ge 5. Así el rango son los enteros mayores que 3.3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A composite number has at least two prime factors (with multiplicity), and the smallest prime is 2,2, so the least possible value is 2+2=4.2 + 2 = 4.

Every integer greater than 33 is attained: r(2k)=2kr(2^k) = 2k covers the even values ≥4,\ge 4, and r(2k⋅3)=2k+3r(2^k\cdot 3) = 2k + 3 covers the odd values ≥5.\ge 5. So the range is the integers greater than 3.3.

Thus, the correct answer is D.

Problema 17#17
Examen completo
Problema 19#19

El Problema 18 en otros años

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