Question

Los enteros de dos cifras desde $19$ hasta $92$ se escriben consecutivamente para formar el entero grande $N=19202122\ldots909192.$ Si $3^k$ es la mayor potencia de $3$ que divide a $N,$ entonces $k=$

The two-digit integers from $19$ to $92$ are written consecutively to form the large integer $N=19202122\ldots909192.$ If $3^k$ is the highest power of $3$ that is a factor of $N,$ then $k=$

$0$

$1$

$2$

$3$

más de $3$

more than $3$

Respuesta: B

Conceptos:divisibility by 3 and 9 digit sum arithmetic series

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Usa las pruebas de la suma de cifras para la divisibilidad por $3$ y por $9$

Use the digit-sum tests for divisibility by $3$ and $9$

Pista grande:

Módulo $9,$ la suma de cifras de la concatenación equivale a $19+20+\cdots+92$

Modulo $9,$ the digit sum of the concatenation equals $19+20+\cdots+92$

Solución:

Módulo $9,$ un número es congruente con la suma de sus cifras, así que $\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9. \end{aligned}$ Por tanto, $N$ es divisible por $3$ pero no por $9,$ de modo que la mayor potencia de $3$ que lo divide es $3^1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Modulo $9,$ a number is congruent to its digit sum, so $\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9. \end{aligned}$ Thus $N$ is divisible by $3$ but not by $9,$ so the highest power of $3$ dividing it is $3^1.$

Thus the correct answer is B.

1992 AMC 12 Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años