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1964 AMC 12 Problema 16

Intenta el Problema 16 del 1964 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1964 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Sea f(x)=x2+3x+2f(x)=x^2+3x+2 y sea SS el conjunto de enteros {0,1,2,…,25}.\{0,1,2,\ldots,25\}. El número de elementos ss de SS tales que f(s)f(s) deja residuo cero al dividirse entre 66 es:

Let f(x)=x2+3x+2f(x)=x^2+3x+2 and let SS be the set of integers {0,1,2,…,25}.\{0,1,2,\ldots,25\}. The number of members ss of SS such that f(s)f(s) has remainder zero when divided by 66 is:

2525

2222

2121

1818

1717

Respuesta: E
Conceptos:aritmética modulardivisibilidadconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:

Factoriza f(s)f(s) como (s+1)(s+2)(s+1)(s+2)

Factor f(s)f(s) as (s+1)(s+2)(s+1)(s+2)

Pista grande:

El producto siempre es par; determina qué residuo de ss módulo 33 falla

The product is always even; determine which residue of ss modulo 33 fails

Solución:

Tenemos f(s)=(s+1)(s+2),f(s)=(s+1)(s+2), un producto de enteros consecutivos, por lo que siempre es par. Es divisible entre 33 salvo cuando s≡0(mod3).s\equiv0\pmod3. Entre 0,1,…,25,0,1,\ldots,25, nueve valores son múltiplos de 3.3. Así, funcionan 26−9=1726-9=17 valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have f(s)=(s+1)(s+2),f(s)=(s+1)(s+2), a product of consecutive integers, so it is always even. It is divisible by 33 unless s≡0(mod3).s\equiv0\pmod3. Among 0,1,…,25,0,1,\ldots,25, nine values are multiples of 3.3. Thus 26−9=1726-9=17 values work.

Therefore, the correct answer is E.

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