Question

Los números $\log(a^3 b^7),$ $\log(a^5 b^{12}),$ y $\log(a^8 b^{15})$ son los primeros tres términos de una sucesión aritmética, y el $12$ o término de la sucesión es $\log(b^n).$ ¿Cuánto vale $n$ ?

The numbers $\log(a^3 b^7),$ $\log(a^5 b^{12}),$ and $\log(a^8 b^{15})$ are the first three terms of an arithmetic sequence, and the $12$ th term of the sequence is $\log(b^n).$ What is $n?$

$40$

$56$

$76$

$112$

$143$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética logaritmo

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Escribe cada término como $p \log a + q \log b$ e iguala las diferencias consecutivas.

Write each term as $p \log a + q \log b$ and set the consecutive differences equal

Pista grande:

Diferencias iguales fuerzan $\log a = 2 \log b,$ reduciendo cada término a un múltiplo de $\log b$ .

Equal differences force $\log a = 2 \log b,$ reducing every term to a multiple of $\log b$

Solución:

Los tres términos son $3\log a + 7\log b,$ $5\log a + 12\log b,$ y $8\log a + 15\log b.$ Igualando las dos diferencias consecutivas, $\begin{aligned} &2\log a + 5\log b \\ &= 3\log a + 3\log b, \end{aligned}$ así que $\log a = 2\log b.$

El primer término es entonces $(3 \cdot 2 + 7)\log b = 13\log b,$ y la diferencia común es $(2 \cdot 2 + 5)\log b = 9\log b.$

El $12$ o término es $\begin{aligned} (13 + 11 \cdot 9)\log b &= 112\log b \\ &= \log(b^{112}), \end{aligned}$ así que $n = 112.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The three terms are $3\log a + 7\log b,$ $5\log a + 12\log b,$ and $8\log a + 15\log b.$ Setting the two consecutive differences equal, $\begin{aligned} &2\log a + 5\log b \\ &= 3\log a + 3\log b, \end{aligned}$ so $\log a = 2\log b.$

The first term is then $(3 \cdot 2 + 7)\log b = 13\log b,$ and the common difference is $(2 \cdot 2 + 5)\log b = 9\log b.$

The $12$ th term is $\begin{aligned} (13 + 11 \cdot 9)\log b &= 112\log b \\ &= \log(b^{112}), \end{aligned}$ so $n = 112.$

Thus, D is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años