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2008 AMC 12A Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2008 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Los números log⁡(a3b7),\log(a^3 b^7), log⁡(a5b12),\log(a^5 b^{12}), y log⁡(a8b15)\log(a^8 b^{15}) son los primeros tres términos de una sucesión aritmética, y el 1212o término de la sucesión es log⁡(bn).\log(b^n). ¿Cuánto vale nn?
The numbers log⁡(a3b7),\log(a^3 b^7), log⁡(a5b12),\log(a^5 b^{12}), and log⁡(a8b15)\log(a^8 b^{15}) are the first three terms of an arithmetic sequence, and the 1212th term of the sequence is log⁡(bn).\log(b^n). What is n?n?
4040
5656
7676
112112
143143
Respuesta: D
Conceptos:sucesión aritméticalogaritmo
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:
Escribe cada término como plog⁡a+qlog⁡bp \log a + q \log b e iguala las diferencias consecutivas.
Write each term as plog⁡a+qlog⁡bp \log a + q \log b and set the consecutive differences equal
Pista grande:
Diferencias iguales fuerzan log⁡a=2log⁡b,\log a = 2 \log b, reduciendo cada término a un múltiplo de log⁡b\log b.
Equal differences force log⁡a=2log⁡b,\log a = 2 \log b, reducing every term to a multiple of log⁡b\log b
Solución:
Los tres términos son 3log⁡a+7log⁡b,3\log a + 7\log b, 5log⁡a+12log⁡b,5\log a + 12\log b, y 8log⁡a+15log⁡b.8\log a + 15\log b. Igualando las dos diferencias consecutivas, 2log⁡a+5log⁡b=3log⁡a+3log⁡b, \begin{aligned} &2\log a + 5\log b \\ &= 3\log a + 3\log b, \end{aligned} así que log⁡a=2log⁡b.\log a = 2\log b.
El primer término es entonces (3⋅2+7)log⁡b=13log⁡b,(3 \cdot 2 + 7)\log b = 13\log b, y la diferencia común es (2⋅2+5)log⁡b=9log⁡b.(2 \cdot 2 + 5)\log b = 9\log b.
El 1212o término es (13+11⋅9)log⁡b=112log⁡b=log⁡(b112), \begin{aligned} (13 + 11 \cdot 9)\log b &= 112\log b \\ &= \log(b^{112}), \end{aligned} así que n=112.n = 112.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
The three terms are 3log⁡a+7log⁡b,3\log a + 7\log b, 5log⁡a+12log⁡b,5\log a + 12\log b, and 8log⁡a+15log⁡b.8\log a + 15\log b. Setting the two consecutive differences equal, 2log⁡a+5log⁡b=3log⁡a+3log⁡b, \begin{aligned} &2\log a + 5\log b \\ &= 3\log a + 3\log b, \end{aligned} so log⁡a=2log⁡b.\log a = 2\log b.
The first term is then (3⋅2+7)log⁡b=13log⁡b,(3 \cdot 2 + 7)\log b = 13\log b, and the common difference is (2⋅2+5)log⁡b=9log⁡b.(2 \cdot 2 + 5)\log b = 9\log b.
The 1212th term is (13+11⋅9)log⁡b=112log⁡b=log⁡(b112), \begin{aligned} (13 + 11 \cdot 9)\log b &= 112\log b \\ &= \log(b^{112}), \end{aligned} so n=112.n = 112.
Thus, D is the correct answer.
Problema 15#15
Examen completo
Problema 17#17

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