Question

Un reloj analógico empieza a medianoche y funciona durante $2025$ minutos antes de detenerse. Cuando el reloj se detiene, ¿cuál es la tangente del ángulo agudo entre la manecilla de las horas y la manecilla de los minutos?

An analog clock starts at midnight and runs for $2025$ minutes before stopping. What is the tangent of the acute angle between the hour hand and the minute hand when the clock stops?

$0$

$\sqrt{2} - 1$

$2 - \sqrt{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$3 - \sqrt{2}$

Solución:

$2025$ minutos son $33$ horas $45$ minutos, que módulo $12$ horas equivale a $9{:}45.$ La manecilla de los minutos apunta a $270^\circ$ y la de las horas a $9.75 \times 30^\circ = 292.5^\circ,$ así que el ángulo agudo entre ellas es $22.5^\circ.$ Usando el valor del ángulo mitad, $\tan 22.5^\circ = \sqrt{2} - 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

$2025$ minutes is $33$ hours $45$ minutes, which modulo $12$ hours reads $9{:}45.$ The minute hand points at $270^\circ$ and the hour hand at $9.75 \times 30^\circ = 292.5^\circ,$ so the acute angle between them is $22.5^\circ.$ Using the half-angle value, $\tan 22.5^\circ = \sqrt{2} - 1.$

Thus, the correct answer is B.

2025 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años