Soluciones del 1976 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Si uno menos el recíproco de $(1-x)$ es igual al recíproco de $(1-x),$ entonces $x$ es igual a

If one minus the reciprocal of $(1-x)$ equals the reciprocal of $(1-x),$ then $x$ equals

$-2$

$-1$

$\frac12$

$2$

$3$

Conceptos:ecuación racional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Multiplica la ecuación por $1-x,$ que no puede ser cero

Multiply the equation by $1-x,$ which cannot be zero

Pista grande:

Después de eliminar el denominador, resuelve $1-x-1=1$

After clearing the denominator, solve $1-x-1=1$

Solución:

La ecuación es $1-\frac1{1-x}=\frac1{1-x}.$ Al multiplicar por $1-x\ne0$ , se obtiene $1-x-1=1,$ por lo que $x=-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equation is $1-\frac1{1-x}=\frac1{1-x}.$ Multiplying by $1-x\ne0$ gives $1-x-1=1,$ so $x=-1.$

Therefore, the correct answer is B.

2.

¿Para cuántos números reales $x$ es $\sqrt{-(x+1)^2}$ un número real?

For how many real numbers $x$ is $\sqrt{-(x+1)^2}$ a real number?

ninguno

none

uno

one

dos

two

una cantidad finita mayor que dos

a finite number greater than two

infinitos

infinitely many

Conceptos:radical cuadrado perfecto desigualdad

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Una raíz cuadrada real requiere que el radicando sea no negativo

A real square root requires a nonnegative radicand

Pista grande:

La cantidad $-(x+1)^2$ solo puede ser no negativa cuando el cuadrado se anula

The quantity $-(x+1)^2$ can be nonnegative only when the square vanishes

Solución:

Como $(x+1)^2\ge0,$ su negativo es a lo sumo $0.$ Es no negativo solo cuando $(x+1)^2=0,$ lo cual ocurre para el único valor $x=-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $(x+1)^2\ge0,$ its negative is at most $0.$ It is nonnegative only when $(x+1)^2=0,$ which occurs for the single value $x=-1.$

Therefore, the correct answer is B.

3.

La suma de las distancias desde un vértice de un cuadrado de lado dos hasta los puntos medios de cada uno de sus lados es

The sum of the distances from one vertex of a square with sides of length two to the midpoints of each of the sides of the square is

$2\sqrt5$

$2+\sqrt3$

$2+2\sqrt3$

$2+\sqrt5$

$2+2\sqrt5$

Conceptos:cuadrado (geometría)punto medio fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Coloca el vértice elegido en $(0,0)$ y los demás vértices del cuadrado en $(2,0),$ $(2,2),$ y $(0,2)$

Place the chosen vertex at $(0,0)$ and the other vertices at $(2,0),$ $(2,2),$ and $(0,2)$

Pista grande:

Dos puntos medios están a una unidad, mientras que cada punto medio del lado opuesto forma catetos $2$ y $1$

Two midpoints are one unit away, while each opposite-side midpoint forms legs $2$ and $1$

Solución:

Los dos puntos medios de los lados que concurren en el vértice elegido están a distancia $1.$ Para los otros dos puntos medios, las diferencias de coordenadas son $2$ y $1,$ así que cada distancia es $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.$ La suma es $2+2\sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two midpoints on sides meeting the chosen vertex are each at distance $1.$ The other two midpoints have coordinate differences $2$ and $1,$ so each is at distance $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.$ The sum is $2+2\sqrt5.$

Therefore, the correct answer is E.

4.

Sea una progresión geométrica de $n$ términos con primer término uno, razón común $r$ y suma $s,$ donde $r$ y $s$ no son cero. La suma de la progresión geométrica que se obtiene al reemplazar cada término por su recíproco es

Let a geometric progression with $n$ terms have first term one, common ratio $r$ and sum $s,$ where $r$ and $s$ are not zero. The sum of the geometric progression formed by replacing each term of the original progression by its reciprocal is

$\frac1s$

$\frac1{r^ns}$

$\frac{s}{r^{n-1}}$

$\frac{r^n}{s}$

$\frac{r^{n-1}}s$

Conceptos:sucesión geométrica factorización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Escribe la suma de los recíprocos como $1+r^{-1}+\cdots+r^{-(n-1)}$

Write the reciprocal sum as $1+r^{-1}+\cdots+r^{-(n-1)}$

Pista grande:

Invierte el orden de las potencias y extrae el factor $r^{-(n-1)}$

Factor $r^{-(n-1)}$ after reversing the order of the powers

Solución:

Sea $S'$ la suma de los recíprocos. Al multiplicarla por $r^{n-1}$ , se invierte el orden de los términos originales: $\begin{aligned} r^{n-1}S' &=r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+1\\ &=s. \end{aligned}$ Por tanto, $S'=\frac{s}{r^{n-1}}.$ Esto también se cumple cuando $r=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $S'$ be the reciprocal sum. Multiplying it by $r^{n-1}$ reverses the original terms: $\begin{aligned} r^{n-1}S' &=r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+1\\ &=s. \end{aligned}$ Hence $S'=\frac{s}{r^{n-1}}.$ This also holds when $r=1.$

Therefore, the correct answer is C.

5.

¿Cuántos enteros mayores que diez y menores que cien, escritos en base diez, aumentan en nueve cuando se invierte el orden de sus dígitos?

How many integers greater than ten and less than one hundred, written in base ten notation, are increased by nine when their digits are reversed?

$0$

$1$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:dígitos valor posicional enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Representa los dígitos de las decenas y las unidades por $t$ y $u$

Represent the tens and units digits by $t$ and $u$

Pista grande:

El aumento es $10u+t-(10t+u)=9(u-t)$

The increase is $10u+t-(10t+u)=9(u-t)$

Solución:

La condición es $9(u-t)=9,$ así que $u=t+1.$ Las posibilidades son $12,$ $23,$ $34,$ $45,$ $56,$ $67,$ $78,$ y $89,$ lo que da $8$ enteros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The condition is $9(u-t)=9,$ so $u=t+1.$ The possibilities are $12,$ $23,$ $34,$ $45,$ $56,$ $67,$ $78,$ and $89,$ giving $8$ integers.

Therefore, the correct answer is C.

6.

Si $c$ es un número real y el negativo de una de las soluciones de $x^2-3x+c=0$ es una solución de $x^2+3x-c=0,$ entonces las soluciones de $x^2-3x+c=0$ son

If $c$ is a real number and the negative of one of the solutions of $x^2-3x+c=0$ is a solution of $x^2+3x-c=0,$ then the solutions of $x^2-3x+c=0$ are

$1,$ $2$

$-1,$ $-2$

$0,$ $3$

$0,$ $-3$

$\frac32,$ $\frac32$

Conceptos:cuadrática sustitución propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Llama $r$ a la primera raíz y sustituye $-r$ en la segunda ecuación

Call the first root $r$ and substitute $-r$ into the second equation

Pista grande:

Las dos ecuaciones resultantes solo difieren en el signo de $c$

The two resulting equations differ only in the sign of $c$

Solución:

Para una raíz $r$ de este tipo, $\begin{aligned} r^2-3r+c&=0,\\ (-r)^2+3(-r)-c&=0. \end{aligned}$ Al restar, se obtiene $2c=0.$ Por tanto, la primera ecuación es $x(x-3)=0,$ con raíces $0$ y $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For such a root $r,$ $\begin{aligned} r^2-3r+c&=0,\\ (-r)^2+3(-r)-c&=0. \end{aligned}$ Subtracting gives $2c=0.$ Thus the first equation is $x(x-3)=0,$ with roots $0$ and $3.$

Therefore, the correct answer is C.

7.

Si $x$ es un número real, entonces la cantidad $(1-|x|)(1+x)$ es positiva si y solo si

If $x$ is a real number, then the quantity $(1-|x|)(1+x)$ is positive if and only if

$|x|\lt1$

$x\lt1$

$|x|\gt1$

$x\lt-1$

$x\lt-1$ o $-1\lt x\lt1$

$x\lt-1$ or $-1\lt x\lt1$

Conceptos:valor absoluto desigualdad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Un producto es positivo cuando sus dos factores tienen el mismo signo

A product is positive when its two factors have the same sign

Pista grande:

Analiza los intervalos determinados por $-1$ y $1$

Analyze the intervals cut by $-1$ and $1$

Solución:

Ambos factores son positivos exactamente cuando $|x|\lt1,$ lo que da $-1\lt x\lt1.$ Ambos son negativos cuando $|x|\gt1$ y $x\lt-1,$ condición que se reduce a $x\lt-1.$ En los extremos el producto es cero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Both factors are positive exactly when $|x|\lt1,$ giving $-1\lt x\lt1.$ Both are negative when $|x|\gt1$ and $x\lt-1,$ which reduces to $x\lt-1.$ The endpoints make the product zero.

Therefore, the correct answer is E.

8.

Se elige al azar un punto del plano cuyas dos coordenadas rectangulares son enteros de valor absoluto menor o igual que cuatro; todos esos puntos tienen la misma probabilidad de ser elegidos. ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia del punto al origen sea a lo sumo dos unidades?

A point in the plane, both of whose rectangular coordinates are integers with absolute value less than or equal to four, is chosen at random, with all such points having an equal probability of being chosen. What is the probability that the distance from the point to the origin is at most two units?

$\frac{13}{81}$

$\frac{15}{81}$

$\frac{13}{64}$

$\frac{\pi}{16}$

el cuadrado de un número racional

the square of a rational number

Conceptos:punto reticular probabilidad básica círculo enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Hay $9$ opciones para cada coordenada

There are $9$ choices for each coordinate

Pista grande:

Cuenta los pares enteros que satisfacen $x^2+y^2\le4,$ considerando $x=0,$ $x=\pm1,$ y $x=\pm2$

Count integer pairs satisfying $x^2+y^2\le4$ by considering $x=0,$ $x=\pm1,$ and $x=\pm2$

Solución:

Hay $9^2=81$ puntos posibles. A distancia no mayor que $2$ están el origen; los cuatro puntos $(\pm1,0),$ $(0,\pm1);$ los cuatro puntos $(\pm1,\pm1);$ y los cuatro puntos $(\pm2,0),$ $(0,\pm2).$ Por tanto, califican $13$ puntos y la probabilidad es $\frac{13}{81}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

There are $9^2=81$ possible points. Within distance $2$ are the origin; the four points $(\pm1,0),$ $(0,\pm1);$ the four points $(\pm1,\pm1);$ and the four points $(\pm2,0),$ $(0,\pm2).$ Thus $13$ points qualify, for probability $\frac{13}{81}.$

Therefore, the correct answer is A.

9.

En el triángulo $ABC,$ $D$ es el punto medio de $AB;$ $E$ es el punto medio de $DB;$ y $F$ es el punto medio de $BC.$ Si el área de $\triangle ABC$ es $96,$ entonces el área de $\triangle AEF$ es

In triangle $ABC,$ $D$ is the midpoint of $AB;$ $E$ is the midpoint of $DB;$ and $F$ is the midpoint of $BC.$ If the area of $\triangle ABC$ is $96,$ then the area of $\triangle AEF$ is

$16$

$24$

$32$

$36$

$48$

Conceptos:área del triángulo punto medio razón de áreas

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Compara la base $AE$ con $AB$ y la altura desde $F$ con la altura desde $C$

Compare the base $AE$ with $AB$ and the height from $F$ with the height from $C$

Pista grande:

Las dos razones son $\frac34$ y $\frac12$

The two ratios are $\frac34$ and $\frac12$

Solución:

Como $D$ es el punto medio de $AB$ y $E$ es el punto medio de $DB,$ se tiene $AE=\frac34AB.$ Como $F$ es el punto medio de $BC,$ su distancia a la recta $AB$ es la mitad de la de $C.$ Por tanto, $\begin{aligned} [AEF]&=\frac34\cdot\frac12[ABC]\\ &=\frac38(96)=36. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $D$ is the midpoint of $AB$ and $E$ is the midpoint of $DB,$ $AE=\frac34AB.$ Since $F$ is the midpoint of $BC,$ its distance from line $AB$ is half that of $C.$ Therefore $\begin{aligned} [AEF]&=\frac34\cdot\frac12[ABC]\\ &=\frac38(96)=36. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

10.

Si $m,$ $n,$ $p$ y $q$ son números reales, $f(x)=mx+n$ y $g(x)=px+q,$ entonces la ecuación $f(g(x))=g(f(x))$ tiene una solución

If $m,$ $n,$ $p$ and $q$ are real numbers and $f(x)=mx+n$ and $g(x)=px+q,$ then the equation $f(g(x))=g(f(x))$ has a solution

para todos los valores de $m,$ $n,$ $p$ y $q$

for all choices of $m,$ $n,$ $p$ and $q$

si y solo si $m=p$ y $n=q$

if and only if $m=p$ and $n=q$

si y solo si $mq-np=0$

if and only if $mq-np=0$

si y solo si $n(1-p)-q(1-m)=0$

if and only if $n(1-p)-q(1-m)=0$

si y solo si $(1-n)(1-p)$ ${}-(1-q)(1-m)=0$

if and only if $(1-n)(1-p)$ ${}-(1-q)(1-m)=0$

Conceptos:función ecuación lineal manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Desarrolla ambas composiciones antes de intentar despejar $x$

Expand both compositions before trying to solve for $x$

Pista grande:

Los coeficientes de $x$ son automáticamente iguales; solo queda una condición sobre los términos constantes

The coefficients of $x$ are automatically equal, leaving a condition on the constant terms

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q. \end{aligned}$ Los términos en $x$ se cancelan para todo $x,$ así que existe una solución exactamente cuando $mq+n=pn+q.$ Al reordenar se obtiene $n(1-p)-q(1-m)=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q. \end{aligned}$ The $x$ -terms cancel for every $x,$ so a solution exists exactly when $mq+n=pn+q.$ Rearranging gives $n(1-p)-q(1-m)=0.$

Therefore, the correct answer is D.

11.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones equivalen a la afirmación «Si el elefante rosa del planeta alfa tiene ojos morados, entonces el cerdo salvaje del planeta beta no tiene una nariz larga»?

$\mathrm{I}.$ «Si el cerdo salvaje del planeta beta tiene una nariz larga, entonces el elefante rosa del planeta alfa tiene ojos morados».

$\mathrm{II}.$ «Si el elefante rosa del planeta alfa no tiene ojos morados, entonces el cerdo salvaje del planeta beta no tiene una nariz larga».

$\mathrm{III}.$ «Si el cerdo salvaje del planeta beta tiene una nariz larga, entonces el elefante rosa del planeta alfa no tiene ojos morados».

$\mathrm{IV}.$ «El elefante rosa del planeta alfa no tiene ojos morados, o el cerdo salvaje del planeta beta no tiene una nariz larga».

La palabra «o» se usa aquí en sentido inclusivo, como es habitual en la escritura matemática.

Which of the following statements is (are) equivalent to the statement “If the pink elephant on planet alpha has purple eyes, then the wild pig on planet beta does not have a long nose”?

$\mathrm{I}.$ “If the wild pig on planet beta has a long nose, then the pink elephant on planet alpha has purple eyes.”

$\mathrm{II}.$ “If the pink elephant on planet alpha does not have purple eyes, then the wild pig on planet beta does not have a long nose.”

$\mathrm{III}.$ “If the wild pig on planet beta has a long nose, then the pink elephant on planet alpha does not have purple eyes.”

$\mathrm{IV}.$ “The pink elephant on planet alpha does not have purple eyes, or the wild pig on planet beta does not have a long nose.”

The word “or” is used here in the inclusive sense (as is customary in mathematical writing).

solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ only

solo $\mathrm{III}$ y $\mathrm{IV}$

$\mathrm{III}$ and $\mathrm{IV}$ only

solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{IV}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{IV}$ only

solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

solo $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Escribe la implicación original como $P\mathbin{\Rightarrow}\neg Q$

Write the original implication as $P\mathbin{\Rightarrow}\neg Q$

Pista grande:

Usa tanto su contrapositiva como la disyunción equivalente $\neg P\mathbin{\lor}\neg Q$

Use both its contrapositive and the equivalent disjunction $\neg P\mathbin{\lor}\neg Q$

Solución:

Sea $P$ la afirmación de que el elefante tiene ojos morados y $Q$ la de que el cerdo tiene una nariz larga. La afirmación original $P\Rightarrow\neg Q$ equivale a su contrapositiva $Q\Rightarrow\neg P,$ que es $\mathrm{III},$ y a $\neg P\lor\neg Q,$ que es $\mathrm{IV}.$ Las afirmaciones $\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}$ son recíprocas y no tienen por qué cumplirse.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $P$ mean the elephant has purple eyes and $Q$ mean the pig has a long nose. The original statement $P\Rightarrow\neg Q$ is equivalent to its contrapositive $Q\Rightarrow\neg P,$ which is $\mathrm{III},$ and to $\neg P\lor\neg Q,$ which is $\mathrm{IV}.$ Statements $\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ are converses and need not follow.

Therefore, the correct answer is B.

12.

Un supermercado tiene $128$ cajas de manzanas. Cada caja contiene al menos $120$ manzanas y a lo sumo $144$ manzanas. ¿Cuál es el mayor entero $n$ tal que necesariamente hay al menos $n$ cajas con la misma cantidad de manzanas?

A supermarket has $128$ crates of apples. Each crate contains at least $120$ apples and at most $144$ apples. What is the largest integer $n$ such that there must be at least $n$ crates containing the same number of apples?

$4$

$5$

$6$

$24$

$25$

Conceptos:principio del palomar conteo básico

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Cuenta las cantidades posibles de manzanas desde $120$ hasta $144$ , inclusive

Count the possible apple totals from $120$ through $144$ , inclusive

Pista grande:

Si cada cantidad apareciera a lo sumo cinco veces, habría como máximo $25\cdot5$ cajas

If every total occurred at most five times, there would be at most $25\cdot5$ crates

Solución:

Hay $144-120+1=25$ cantidades posibles de manzanas. Como $128>25\cdot5,$ alguna cantidad aparece al menos $6$ veces. La cota es alcanzable: se pueden distribuir las $128$ cajas de modo que tres cantidades aparezcan $6$ veces y las otras veintidós aparezcan $5$ veces. Por tanto, el mayor $n$ garantizado es $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are $144-120+1=25$ possible apple counts. Since $128>25\cdot5,$ some count occurs at least $6$ times. This is sharp: distribute $128$ crates so that three counts occur $6$ times and the other twenty-two occur $5$ times. Thus the largest guaranteed $n$ is $6.$

Therefore, the correct answer is C.

13.

Si $x$ vacas producen $x+1$ latas de leche en $x+2$ días, ¿cuántos días tardarán $x+3$ vacas en producir $x+5$ latas de leche?

If $x$ cows give $x+1$ cans of milk in $x+2$ days, how many days will it take $x+3$ cows to give $x+5$ cans of milk?

$\frac{x(x+2)(x+5)}{(x+1)(x+3)}$

$\frac{x(x+1)(x+5)}{(x+2)(x+3)}$

$\frac{(x+1)(x+3)(x+5)}{x(x+2)}$

$\frac{(x+1)(x+3)}{x(x+2)(x+5)}$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:tasa razón y proporción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Primero halla la cantidad de latas producidas por vaca y por día

First find the number of cans produced per cow-day

Pista grande:

Plantea $\frac{x+5}{(x+3)T}=\frac{x+1}{x(x+2)}$

Set $\frac{x+5}{(x+3)T}=\frac{x+1}{x(x+2)}$

Solución:

La tasa de producción es $\frac{x+1}{x(x+2)}$ latas por vaca y por día. Si el nuevo tiempo es $T,$ entonces $\frac{x+5}{(x+3)T}=\frac{x+1}{x(x+2)}.$ Por tanto, $T=\frac{x(x+2)(x+5)}{(x+1)(x+3)}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The production rate is $\frac{x+1}{x(x+2)}$ cans per cow-day. If the new time is $T,$ then $\frac{x+5}{(x+3)T}=\frac{x+1}{x(x+2)}.$ Hence $T=\frac{x(x+2)(x+5)}{(x+1)(x+3)}.$

Therefore, the correct answer is A.

14.

Las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo están en progresión aritmética. Si el ángulo menor mide $100^\circ$ y el mayor mide $140^\circ,$ entonces el número de lados del polígono es

The measures of the interior angles of a convex polygon are in arithmetic progression. If the smallest angle is $100^\circ$ and the largest angle is $140^\circ,$ then the number of sides the polygon has is

$6$

$8$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:suma de ángulos sucesión aritmética ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

El promedio de una progresión aritmética es el promedio de su primer y último términos

The average of an arithmetic progression is the average of its first and last terms

Pista grande:

Iguala $120n$ con la suma de ángulos interiores $180(n-2)$

Equate $120n$ with the interior-angle sum $180(n-2)$

Solución:

El ángulo promedio mide $\frac{100+140}{2}=120^\circ,$ así que la suma de los ángulos es $120n.$ Un polígono convexo de $n$ lados tiene suma angular $180(n-2),$ por lo que $120n=180(n-2)$ y $n=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The average angle is $\frac{100+140}{2}=120^\circ,$ so the angle sum is $120n.$ A convex $n$ -gon has angle sum $180(n-2),$ hence $120n=180(n-2)$ and $n=6.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

Si $r$ es el residuo al dividir cada uno de los números $1059,$ $1417$ y $2312$ por $d,$ donde $d$ es un entero mayor que uno, entonces $d-r$ es igual a

If $r$ is the remainder when each of the numbers $1059,$ $1417$ and $2312$ is divided by $d,$ where $d$ is an integer greater than one, then $d-r$ equals

$1$

$15$

$179$

$d-15$

$d-1$

Conceptos:aritmética modular máximo común divisor divisibilidad

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Un residuo común significa que $d$ divide cada diferencia por pares

A common remainder means $d$ divides every pairwise difference

Pista grande:

Usa $1417-1059=358=2\cdot179$ y $2312-1417=895=5\cdot179$

Use $1417-1059=358=2\cdot179$ and $2312-1417=895=5\cdot179$

Solución:

El divisor $d$ divide tanto a $358=2\cdot179$ como a $895=5\cdot179.$ Su máximo común divisor es $179,$ que es primo, así que $d=179.$ Como $1059=5\cdot179+164,$ tenemos $r=164$ y $d-r=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The divisor $d$ divides both $358=2\cdot179$ and $895=5\cdot179.$ Their greatest common divisor is $179,$ a prime, so $d=179.$ Since $1059=5\cdot179+164,$ we have $r=164$ and $d-r=15.$

Therefore, the correct answer is B.

16.

En los triángulos $ABC$ y $DEF,$ las longitudes $AC,$ $BC,$ $DF$ y $EF$ son iguales. La longitud $AB$ es el doble de la altura de $\triangle DEF$ trazada desde $F$ hasta $DE.$ ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

$\mathrm{I}.$ $\angle ACB$ y $\angle DFE$ deben ser complementarios.

$\mathrm{II}.$ $\angle ACB$ y $\angle DFE$ deben ser suplementarios.

$\mathrm{III}.$ El área de $\triangle ABC$ debe ser igual al área de $\triangle DEF.$

$\mathrm{IV}.$ El área de $\triangle ABC$ debe ser el doble del área de $\triangle DEF.$

In triangles $ABC$ and $DEF,$ lengths $AC,$ $BC,$ $DF$ and $EF$ are all equal. Length $AB$ is twice the length of the altitude of $\triangle DEF$ from $F$ to $DE.$ Which of the following statements is (are) true?

$\mathrm{I}.$ $\angle ACB$ and $\angle DFE$ must be complementary.

$\mathrm{II}.$ $\angle ACB$ and $\angle DFE$ must be supplementary.

$\mathrm{III}.$ The area of $\triangle ABC$ must equal the area of $\triangle DEF.$

$\mathrm{IV}.$ The area of $\triangle ABC$ must equal twice the area of $\triangle DEF.$

solo $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

solo $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

solo $\mathrm{IV}$

$\mathrm{IV}$ only

solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ only

solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

Conceptos:triángulo isósceles altura congruencia (geometría)área

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Traza alturas desde $C$ y $F$ ; cada altura biseca la base de su triángulo isósceles

Drop altitudes from $C$ and $F$ ; each altitude bisects the base of its isosceles triangle

Pista grande:

Compara una mitad de $ABC$ con una mitad de $DEF$ como triángulos rectángulos

Compare a half of $ABC$ with a half of $DEF$ as right triangles

Solución:

Sea $s$ la longitud de los lados iguales, sea $AB=2a,$ y sea $a$ la altura trazada desde $F.$ En los triángulos isósceles, la altura desde $C$ biseca $AB,$ mientras que la altura desde $F$ biseca $DE.$ Una mitad de $ABC$ tiene hipotenusa $s$ y cateto $a;$ una mitad de $DEF$ tiene la misma hipotenusa y el cateto de altura $a.$ Los dos triángulos rectángulos son congruentes, con sus catetos intercambiados. Por ello, sus ángulos agudos correspondientes son complementarios, así que los ángulos completos de los vértices $\angle ACB$ y $\angle DFE$ suman $180^\circ.$ Las áreas de las mitades correspondientes también son iguales; por tanto, las áreas de los triángulos completos son iguales. Las afirmaciones $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$ son verdaderas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the equal sides have length $s,$ let $AB=2a,$ and let the altitude from $F$ be $a.$ In the isosceles triangles, the altitude from $C$ bisects $AB,$ while the altitude from $F$ bisects $DE.$ A half of $ABC$ has hypotenuse $s$ and leg $a;$ a half of $DEF$ has the same hypotenuse and altitude leg $a.$ The two right triangles are congruent with their legs interchanged. Thus their relevant acute angles are complementary, so the full vertex angles $\angle ACB$ and $\angle DFE$ sum to $180^\circ.$ The corresponding half-areas are equal as well, hence the full triangle areas are equal. Statements $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ hold.

Therefore, the correct answer is E.

17.

Si $\theta$ es un ángulo agudo y $\sin2\theta=a,$ entonces $\sin\theta+\cos\theta$ es igual a

If $\theta$ is an acute angle and $\sin2\theta=a,$ then $\sin\theta+\cos\theta$ equals

$\sqrt{a+1}$

$(\sqrt2-1)a+1$

$\sqrt{a+1}-\sqrt{a^2-a}$

$\sqrt{a+1}+\sqrt{a^2-a}$

$\sqrt{a+1}+a^2-a$

Conceptos:identidad trigonométrica trigonometría radical

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado la expresión $\sin\theta+\cos\theta$

Square the expression $\sin\theta+\cos\theta$

Pista grande:

Usa $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ y el hecho de que la suma buscada es positiva

Use $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ and the fact that the desired sum is positive

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a. \end{aligned}$ Tanto el seno como el coseno son positivos para un $\theta$ agudo, así que la suma es $\sqrt{a+1}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $\begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a. \end{aligned}$ Both sine and cosine are positive for acute $\theta,$ so the sum is $\sqrt{a+1}.$

Therefore, the correct answer is A.

18.

En la figura adjunta, $AB$ es tangente en $A$ al círculo de centro $O;$ el punto $D$ está en el interior del círculo; y $DB$ corta al círculo en $C.$ Si $BC=DC=3,$ $OD=2$ y $AB=6,$ entonces el radio del círculo es

In the adjoining figure, $AB$ is tangent at $A$ to the circle with center $O;$ point $D$ is interior to the circle; and $DB$ intersects the circle at $C.$ If $BC=DC=3,$ $OD=2$ and $AB=6,$ then the radius of the circle is

$3+\sqrt3$

$\frac{15}{\pi}$

$\frac92$

$2\sqrt6$

$\sqrt{22}$

Conceptos:círculo recta tangente potencia de un punto

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Prolonga $BD$ más allá de $D$ hasta volver a cortar el círculo en $E$

Extend $BD$ through $D$ to meet the circle again at $E$

Pista grande:

Usa primero $BC\cdot BE=AB^2$ y luego la potencia del punto interior $D$

Use $BC\cdot BE=AB^2$ first, then use the power of interior point $D$

Solución:

Prolonga $BD$ más allá de $D$ hasta cortar el círculo en $E.$ Como $BC=3$ y $BD=6,$ el teorema tangente-secante da $3\cdot BE=AB^2=36,$ de modo que $BE=12$ y $DE=6.$ La potencia de $D$ da $\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2, \end{aligned}$ por lo que $3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4.$ Así, $R^2=22$ y $R=\sqrt{22}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Extend $BD$ through $D$ to meet the circle at $E.$ Since $BC=3$ and $BD=6,$ the tangent-secant theorem gives $3\cdot BE=AB^2=36,$ so $BE=12$ and $DE=6.$ The power of $D$ gives $\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2, \end{aligned}$ hence $3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4.$ Thus $R^2=22$ and $R=\sqrt{22}.$

Therefore, the correct answer is E.

19.

Un polinomio $p(x)$ deja residuo tres al dividirse por $x-1$ y residuo cinco al dividirse por $x-3.$ El residuo al dividir $p(x)$ por $(x-1)(x-3)$ es

A polynomial $p(x)$ has remainder three when divided by $x-1$ and remainder five when divided by $x-3.$ The remainder when $p(x)$ is divided by $(x-1)(x-3)$ is

$x-2$

$x+2$

$2$

$8$

$15$

Conceptos:polinomio ecuación lineal sustitución

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

El residuo buscado tiene grado menor que dos, así que escríbelo como $ax+b$

The desired remainder has degree less than two, so write it as $ax+b$

Pista grande:

Usa el teorema del residuo en $x=1$ y $x=3$

Use the remainder theorem at $x=1$ and $x=3$

Solución:

Sea $r(x)=ax+b$ el residuo. Como $p(1)=3$ y $p(3)=5,$ tenemos $a+b=3,$ y $3a+b=5.$ Por tanto, $a=1,$ y $b=2,$ así que el residuo es $x+2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the remainder be $r(x)=ax+b.$ Since $p(1)=3$ and $p(3)=5,$ we have $a+b=3,$ and $3a+b=5.$ Thus $a=1,$ and $b=2,$ so the remainder is $x+2.$

Therefore, the correct answer is B.

20.

Sean $a,$ $b$ y $x$ números reales positivos distintos de uno. Entonces $\begin{aligned} 4(\log_a x)^2&+3(\log_b x)^2\\ &=8(\log_a x)(\log_b x) \end{aligned}$

Let $a,$ $b$ and $x$ be positive real numbers distinct from one. Then $\begin{aligned} 4(\log_a x)^2&+3(\log_b x)^2\\ &=8(\log_a x)(\log_b x) \end{aligned}$

para todos los valores de $a,$ $b$ y $x$

for all values of $a,$ $b$ and $x$

si y solo si $a=b^2$

if and only if $a=b^2$

si y solo si $b=a^2$

if and only if $b=a^2$

si y solo si $x=ab$

if and only if $x=ab$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:logaritmo cuadrática factorización

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pasa todos los términos a un lado y factoriza la cuadrática en los dos logaritmos

Move all terms to one side and factor the quadratic in the two logarithms

Pista grande:

Mediante el cambio de base, traduce la ecuación de cada factor a una relación entre las bases

Translate each factor equation into a relation between the bases using change of base

Solución:

Al factorizar se obtiene $\begin{aligned} &\bigl(2\log_a x-\log_b x\bigr)\\ &\quad\cdot \bigl(2\log_a x-3\log_b x\bigr)=0. \end{aligned}$ Como $x\ne1,$ el cambio de base muestra que el primer factor se anula cuando $a=b^2,$ mientras que el segundo se anula cuando $a^3=b^2.$ Por ello, la ecuación se cumple bajo cualquiera de dos condiciones, y ninguna afirmación «si y solo si» de la lista describe su unión.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring gives $\begin{aligned} &\bigl(2\log_a x-\log_b x\bigr)\\ &\quad\cdot \bigl(2\log_a x-3\log_b x\bigr)=0. \end{aligned}$ Since $x\ne1,$ change of base shows that the first factor vanishes when $a=b^2,$ while the second vanishes when $a^3=b^2.$ Thus the equation holds under either of two conditions, and no listed “if and only if” statement describes their union.

Therefore, the correct answer is E.

21.

¿Cuál es el menor entero positivo impar $n$ tal que el producto $2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}$ es mayor que $1000$ ? (En el producto, los denominadores de los exponentes son todos iguales a siete y los numeradores son los enteros impares consecutivos desde $1$ hasta $2n+1.$ )

What is the smallest positive odd integer $n$ such that the product $2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}$ is greater than $1000?$ (In the product the denominators of the exponents are all sevens, and the numerators are the successive odd integers from $1$ to $2n+1.$ )

$7$

$9$

$11$

$17$

$19$

Conceptos:exponente suma de los primeros n números impares desigualdad

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Combina las potencias sumando los numeradores impares

Combine the powers by summing the odd numerators

Pista grande:

La suma de impares $1+3+\cdots+(2n+1)$ es $(n+1)^2;$ compárala con $2^{10}=1024$

The odd-number sum $1+3+\cdots+(2n+1)$ equals $(n+1)^2;$ compare with $2^{10}=1024$

Solución:

El producto es $2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}.$ Para $n=7,$ el exponente $\frac{64}{7}$ es menor que $\frac{19}{2},$ así que el producto es menor que $2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000.$ Todos los enteros positivos impares $n$ menores también fallan. Para $n=9,$ el exponente es $\frac{100}{7}\gt10,$ así que el producto supera a $2^{10}=1024.$ Por tanto, el primer $n$ impar permitido es $9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The product is $2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}.$ For $n=7,$ the exponent $\frac{64}{7}$ is less than $\frac{19}{2},$ so the product is less than $2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000.$ All smaller positive odd $n$ also fail. For $n=9,$ the exponent is $\frac{100}{7}\gt10,$ so the product exceeds $2^{10}=1024.$ Thus the first allowable odd $n$ is $9.$

Therefore, the correct answer is B.

22.

Dado un triángulo equilátero de lado $s,$ considérese el lugar geométrico de todos los puntos $P$ del plano del triángulo tales que la suma de los cuadrados de las distancias de $P$ a los vértices del triángulo sea un número fijo $a.$ Este lugar geométrico

Given an equilateral triangle with side of length $s,$ consider the locus of all points $P$ in the plane of the triangle such that the sum of the squares of the distances from $P$ to the vertices of the triangle is a fixed number $a.$ This locus

es un círculo si $a\gt s^2$

is a circle if $a\gt s^2$

contiene solo tres puntos si $a=2s^2$ y es un círculo si $a\gt2s^2$

contains only three points if $a=2s^2$ and is a circle if $a\gt2s^2$

es un círculo de radio positivo solo si $s^2\lt a\lt2s^2$

is a circle with positive radius only if $s^2\lt a\lt2s^2$

contiene solo una cantidad finita de puntos para cualquier valor de $a$

contains only a finite number of points for any value of $a$

no es ninguna de estas

is none of these

Conceptos:baricentro círculo fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sea $G$ el centroide y expresa la suma mediante $PG^2$

Let $G$ be the centroid and express the sum using $PG^2$

Pista grande:

Para un triángulo equilátero, la suma es $3PG^2+s^2$

For an equilateral triangle, the sum equals $3PG^2+s^2$

Solución:

Para los vértices $A,$ $B,$ y $C$ con centroide $G,$ sea $T=GA^2+GB^2+GC^2.$ La identidad del centroide da $PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T.$ En un triángulo equilátero, cada $GA=\frac{s}{\sqrt3},$ así que $T=s^2.$ Por tanto, $3PG^2=a-s^2.$ El lugar geométrico es vacío para $a\lt s^2,$ consta de un punto para $a=s^2,$ y es un círculo de radio positivo para $a\gt s^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For vertices $A,$ $B,$ and $C$ with centroid $G,$ put $T=GA^2+GB^2+GC^2.$ The standard centroid identity gives $PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T.$ In an equilateral triangle, each $GA=\frac{s}{\sqrt3},$ so $T=s^2.$ Hence $3PG^2=a-s^2.$ The locus is empty for $a\lt s^2,$ one point for $a=s^2,$ and a circle of positive radius for $a\gt s^2.$

Therefore, the correct answer is A.

23.

Para enteros $k$ y $n$ tales que $1\le k\lt n,$ sea $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$ Entonces $\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk$ es un entero

For integers $k$ and $n$ such that $1\le k\lt n,$ let $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$ Then $\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk$ is an integer

para todos $k$ y $n$

for all $k$ and $n$

para todos los valores pares de $k$ y $n,$ pero no para todos $k$ y $n$

for all even values of $k$ and $n,$ but not for all $k$ and $n$

para todos los valores impares de $k$ y $n,$ pero no para todos $k$ y $n$

for all odd values of $k$ and $n,$ but not for all $k$ and $n$

si $k=1$ o $n-1,$ pero no para todos los valores impares de $k$ y $n$

if $k=1$ or $n-1,$ but not for all odd values of $k$ and $n$

si $n$ es divisible por $k,$ pero no para todos los valores pares de $k$ y $n$

if $n$ is divisible by $k,$ but not for all even values of $k$ and $n$

Conceptos:combinaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Separa $n-2k-1$ como $(n-k)-(k+1)$

Split $n-2k-1$ into $(n-k)-(k+1)$

Pista grande:

Intenta reescribir la expresión como una diferencia de dos coeficientes binomiales adyacentes

Try rewriting the expression as a difference of two adjacent binomial coefficients

Solución:

Usando $\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk,$ y escribiendo $\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1,$ la expresión dada se convierte en $\binom n{k+1}-\binom nk.$ Esto es un entero para todo par permitido $k$ y $n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Using $\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk,$ and writing $\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1,$ the given expression becomes $\binom n{k+1}-\binom nk.$ This is an integer for every permitted $k$ and $n.$

Therefore, the correct answer is A.

24.

En la figura adjunta, el círculo $K$ tiene diámetro $AB;$ el círculo $L$ es tangente al círculo $K$ y a $AB$ en el centro del círculo $K;$ y el círculo $M$ es tangente al círculo $K,$ al círculo $L$ y a $AB.$ La razón entre el área del círculo $K$ y el área del círculo $M$ es

In the adjoining figure, circle $K$ has diameter $AB;$ circle $L$ is tangent to circle $K$ and to $AB$ at the center of circle $K;$ and circle $M$ is tangent to circle $K,$ to circle $L$ and to $AB.$ The ratio of the area of circle $K$ to the area of circle $M$ is

$12$

$14$

$16$

$18$

no es un entero

not an integer

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras razón de áreas

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Escala el radio de $K$ a $2,$ de modo que el círculo $L$ tenga radio $1$

Scale the radius of $K$ to $2,$ so circle $L$ has radius $1$

Pista grande:

Si $M$ tiene radio $t$ y centro $(x,t),$ usa sus tangencias con los dos círculos mayores

If $M$ has radius $t$ and center $(x,t),$ use its tangencies to both larger circles

Solución:

Sea $K$ el círculo con centro $(0,0)$ y radio $2,$ y sea $AB$ el eje $x$ . Entonces $L$ tiene centro $(0,1)$ y radio $1.$ Si $M$ tiene centro $(x,t)$ y radio $t,$ la tangencia interna con $K$ y la tangencia externa con $L$ dan $\begin{aligned} x^2+t^2&=(2-t)^2,\\ x^2+(t-1)^2&=(1+t)^2. \end{aligned}$ Estas ecuaciones se simplifican a $x^2=4-4t$ y $x^2=4t,$ por lo que $t=\frac12.$ La razón de los radios es $2:\frac{1}{2}=4:1,$ y por tanto la razón de las áreas es $16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take $K$ to have center $(0,0)$ and radius $2,$ with $AB$ the $x$ -axis. Then $L$ has center $(0,1)$ and radius $1.$ If $M$ has center $(x,t)$ and radius $t,$ internal tangency to $K$ and external tangency to $L$ give $\begin{aligned} x^2+t^2&=(2-t)^2,\\ x^2+(t-1)^2&=(1+t)^2. \end{aligned}$ These simplify to $x^2=4-4t$ and $x^2=4t,$ so $t=\frac12.$ The radius ratio is $2:\frac{1}{2}=4:1,$ hence the area ratio is $16.$

Therefore, the correct answer is C.

25.

Para una sucesión $u_1,$ $u_2,$ $\ldots,$ se define $\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n$ y, para todos los enteros $k\gt1,$ $\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n)).$ Si $u_n=n^3+n,$ entonces $\Delta^k(u_n)=0$ para todo $n$

For a sequence $u_1,$ $u_2,$ $\ldots,$ define $\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n$ and, for all integers $k\gt1,$ $\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n)).$ If $u_n=n^3+n,$ then $\Delta^k(u_n)=0$ for all $n$

si $k=1$

if $k=1$

si $k=2,$ pero no si $k=1$

if $k=2,$ but not if $k=1$

si $k=3,$ pero no si $k=2$

if $k=3,$ but not if $k=2$

si $k=4,$ pero no si $k=3$

if $k=4,$ but not if $k=3$

para ningún valor de $k$

for no value of $k$

Conceptos:polinomio recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Cada diferencia progresiva reduce en uno el grado de una sucesión polinómica

Each forward difference lowers the degree of a polynomial sequence by one

Pista grande:

Calcula hasta la tercera diferencia constante para ver cuándo aparece cero por primera vez

Compute through the constant third difference to see when zero first appears

Solución:

Directamente, $\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0. \end{aligned}$ Por tanto, las cuartas diferencias se anulan para todo $n,$ pero las terceras no.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Directly, $\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0. \end{aligned}$ Thus the fourth differences vanish for all $n,$ but the third differences do not.

Therefore, the correct answer is D.

26.

En la figura adjunta, todos los puntos del círculo $O'$ son exteriores al círculo $O.$ Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de una tangente común interna con las dos tangentes comunes externas. Entonces la longitud de $PQ$

In the adjoining figure, every point of circle $O'$ is exterior to circle $O.$ Let $P$ and $Q$ be the points of intersection of an internal common tangent with the two external common tangents. Then the length of $PQ$ is

es el promedio de las longitudes de las tangentes comunes interna y externa

the average of the lengths of the internal and external common tangents

es igual a la longitud de una tangente común externa si y solo si los círculos $O$ y $O'$ tienen radios iguales

equal to the length of an external common tangent if and only if circles $O$ and $O'$ have equal radii

siempre es igual a la longitud de una tangente común externa

always equal to the length of an external common tangent

es mayor que la longitud de una tangente común externa

greater than the length of an external common tangent

es la media geométrica de las longitudes de las tangentes comunes interna y externa

the geometric mean of the lengths of the internal and external common tangents

Conceptos:circunferencias tangentes recta tangente homotecia

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Marca el punto de tangencia en cada una de las tres rectas tangentes

Mark the tangency point on each of the three tangent lines

Pista grande:

Desde $P$ o $Q,$ los segmentos tangentes a un mismo círculo tienen igual longitud

From either $P$ or $Q,$ tangent segments to the same circle have equal lengths

Solución:

Sea la tangente interna tangente a $O$ y $O'$ en $R$ y $S.$ Sea la tangente externa que pasa por $P$ tangente a los círculos en $X$ y $Y,$ y sea la que pasa por $Q$ tangente en $V$ y $W.$ Los segmentos tangentes desde un mismo punto son iguales, de modo que $\begin{gathered} PR=PX,\\ PS=PY,\\ QR=QV,\\ QS=QW. \end{gathered}$ Sobre la tangente interna, $PR+QR=PQ$ y $PS+QS=PQ.$ Al sumar, $\begin{aligned} PR+QR+PS+QS=2PQ. \end{aligned}$ Sobre las tangentes externas, $PX+PY=XY$ y $QV+QW=VW.$ Por tanto, $2PQ=XY+VW.$ Los dos segmentos tangentes comunes externos tienen la misma longitud, así que $XY=VW$ y, por consiguiente, $PQ=XY=VW.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the internal tangent touch $O$ and $O'$ at $R$ and $S.$ Let the external tangent through $P$ touch them at $X$ and $Y,$ and let the one through $Q$ touch them at $V$ and $W.$ Equal tangent segments from a point give $\begin{gathered} PR=PX,\\ PS=PY,\\ QR=QV,\\ QS=QW. \end{gathered}$ Along the internal tangent, $PR+QR=PQ$ and $PS+QS=PQ.$ Adding, $\begin{aligned} PR+QR+PS+QS=2PQ. \end{aligned}$ Along the external tangents, $PX+PY=XY$ and $QV+QW=VW.$ Therefore $2PQ=XY+VW.$ The two external common tangent segments have equal length, so $XY=VW$ and hence $PQ=XY=VW.$

Therefore, the correct answer is C.

27.

Si $\begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2}, \end{aligned}$ entonces $N$ es igual a

If $\begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2}, \end{aligned}$ then $N$ equals

$1$

$2\sqrt2-1$

$\frac{\sqrt5}{2}$

$\sqrt{\frac52}$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:radical racionalización del denominador manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado el numerador de la fracción grande antes de simplificarla

Square the numerator of the large fraction before simplifying it

Pista grande:

Reconoce $3-2\sqrt2$ como $(\sqrt2-1)^2$

Recognize $3-2\sqrt2$ as $(\sqrt2-1)^2$

Solución:

Sea $T$ la primera fracción. El cuadrado de su numerador es $\begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2. \end{aligned}$ Por tanto, $T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2,$ y $T=\sqrt2.$ Además, $\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1.$ Así, $N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $T$ be the first fraction. Its numerator squared is $\begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2. \end{aligned}$ Thus $T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2,$ and $T=\sqrt2.$ Also $\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1.$ Hence $N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

Las rectas $L_1,$ $L_2,$ $\ldots,$ $L_{100}$ son distintas. Todas las rectas $L_{4n},$ con $n$ entero positivo, son paralelas entre sí. Todas las rectas $L_{4n-3},$ con $n$ entero positivo, pasan por un punto dado $A.$ El número máximo de puntos de intersección de pares de rectas del conjunto completo $\{L_1,L_2,\ldots,L_{100}\}$ es

Lines $L_1,$ $L_2,$ $\ldots,$ $L_{100}$ are distinct. All lines $L_{4n},$ $n$ a positive integer, are parallel to each other. All lines $L_{4n-3},$ $n$ a positive integer, pass through a given point $A.$ The maximum number of points of intersection of pairs of lines from the complete set $\{L_1,L_2,\ldots,L_{100}\}$ is

$4350$

$4351$

$4900$

$4901$

$9851$

Conceptos:conteo de intersecciones combinaciones doble conteo

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Comienza con $\binom{100}{2}$ intersecciones en posición general

Start with $\binom{100}{2}$ intersections in general position

Pista grande:

Elimina los pares entre las $25$ rectas paralelas y reúne los pares entre las $25$ rectas concurrentes en un solo punto

Remove the pairs among the $25$ parallel lines and collapse the pairs among the $25$ concurrent lines to one point

Solución:

Hay $25$ índices divisibles por $4$ y $25$ congruentes con $1\pmod4.$ A partir de $\binom{100}{2}=4950,$ el grupo paralelo no aporta intersecciones, por lo que se restan $\binom{25}{2}=300.$ Los $300$ pares del grupo concurrente producen un solo punto en vez de $300$ puntos distintos, por lo que se restan otros $299.$ Todas las intersecciones restantes pueden elegirse distintas, así que el máximo es $4950-300-299=4351.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $25$ indices divisible by $4$ and $25$ congruent to $1\pmod4.$ Starting from $\binom{100}{2}=4950,$ the parallel group contributes no intersections, removing $\binom{25}{2}=300.$ The concurrent group’s $300$ pairs all give one point rather than $300$ distinct points, removing another $299.$ All remaining intersections can be chosen distinct, so the maximum is $4950-300-299=4351.$

Therefore, the correct answer is B.

29.

Ann y Barbara compararon sus edades y descubrieron que Barbara tiene la edad que Ann tenía cuando Barbara tenía la edad que Ann había tenido cuando Barbara tenía la mitad de la edad actual de Ann. Si la suma de sus edades actuales es $44$ años, entonces la edad de Ann es

Ann and Barbara were comparing their ages and found that Barbara is as old as Ann was when Barbara was as old as Ann had been when Barbara was half as old as Ann is. If the sum of their present ages is $44$ years, then Ann’s age is

$22$

$24$

$25$

$26$

$28$

Conceptos:edades ecuación lineal trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Sean $x$ e $y$ las edades actuales de Ann y Barbara, con $x+y=44$

Let Ann’s and Barbara’s present ages be $x$ and $y,$ with $x+y=44$

Pista grande:

Traduce cada «cuando» restando a ambas edades el mismo tiempo transcurrido

Translate each “when” by subtracting the same elapsed time from both ages

Solución:

Sean $x$ y $y$ las edades actuales de Ann y Barbara, y sea $d=x-y$ su diferencia constante de edades. En el primer momento mencionado, Ann tenía $y,$ así que Barbara tenía $y-d.$ En el momento anterior mencionado, Ann tenía esa edad $y-d,$ así que Barbara tenía $y-2d.$ La última cláusula dice que esta última edad era $\frac{x}{2}.$ Por tanto, $y-2(x-y)=\frac{x}{2},$ lo que da $6y=5x.$ Junto con $x+y=44,$ se obtiene $x=24$ y $y=20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let Ann’s and Barbara’s present ages be $x$ and $y,$ and let their constant age difference be $d=x-y.$ At the first referenced time Ann was $y,$ so Barbara was $y-d.$ At the earlier referenced time Ann was that age $y-d,$ so Barbara was $y-2d.$ The final clause says this last age was $\frac{x}{2}.$ Hence $y-2(x-y)=\frac{x}{2},$ which gives $6y=5x.$ Together with $x+y=44,$ this yields $x=24$ and $y=20.$

Therefore, the correct answer is B.

30.

¿Cuántas ternas ordenadas distintas $(x,y,z)$ satisfacen las ecuaciones $\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6? \end{aligned}$

How many distinct ordered triples $(x,y,z)$ satisfy the equations $\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6? \end{aligned}$

ninguna

none

$1$

$2$

$4$

$6$

Conceptos:simetría (álgebra)Fórmulas de Vieta permutaciones

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Reescala las variables tomando $x=2u,$ $y=v,$ y $z=\frac{w}{2}$

Rescale the variables by setting $x=2u,$ $y=v,$ and $z=\frac{w}{2}$

Pista grande:

Las nuevas variables tienen sumas simétricas elementales $6,$ $11,$ y $6$

The new variables have elementary symmetric sums $6,$ $11,$ and $6$

Solución:

Toma $x=2u,$ $y=v,$ y $z=\frac{w}{2}.$ Al dividir las dos primeras ecuaciones por $2$ , se obtiene $\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11, \end{aligned}$ mientras que $uvw=6.$ Por tanto, $u,$ $v,$ y $w$ son las tres raíces de $p(t)=t^3-6t^2+11t-6.$ Este polinomio se factoriza como $p(t)=(t-1)(t-2)(t-3),$ de modo que son $1,$ $2,$ y $3$ en cualquier orden. Sus $3!=6$ permutaciones producen $6$ ternas ordenadas distintas $(x,y,z).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set $x=2u,$ $y=v,$ and $z=\frac{w}{2}.$ Dividing the first two equations by $2$ gives $\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11, \end{aligned}$ while $uvw=6.$ Thus $u,$ $v,$ and $w$ are the three roots of $p(t)=t^3-6t^2+11t-6.$ This polynomial factors as $p(t)=(t-1)(t-2)(t-3),$ so they are $1,$ $2,$ and $3$ in any order. Their $3!=6$ permutations produce $6$ distinct ordered triples $(x,y,z).$

Therefore, the correct answer is E.