Question

一个周长为 $20$ 的正方形内接于一个周长为 $28$ 的正方形。内正方形的一个顶点与外正方形的一个顶点之间的最大距离是多少？

A square of perimeter $20$ is inscribed in a square of perimeter $28.$ What is the greatest distance between a vertex of the inner square and a vertex of the outer square?

$\sqrt{58}$

$\frac{7\sqrt5}{2}$

$8$

$\sqrt{65}$

$5\sqrt3$

答案：D

知识点：inscribed square Pythagorean theorem distance

难度评级：1730

小提示：

内正方形的一个顶点将外正方形的一条边分成长为 $x$ 和 $y$ 的两段。

A vertex of the inner square divides an outer side into lengths $x$ and $y$

大提示：

使用 $x+y=7$ 和 $x^2+y^2=25$ 。

Use $x+y=7$ and $x^2+y^2=25$

解答：

外、内正方形的边长分别为 $7$ 和 $5$ 。在任意一个内正方形顶点处，外正方形一条边被分成长度为 $x$ 和 $y$ 的两段，且 $x+y=7,\qquad x^2+y^2=25\text{。}$ 因此 $2xy=49-25=24$ ，所以 $\{x,y\}=\{3,4\}$ 。从位于一条边上的内正方形顶点到较远的对面外正方形顶点，水平位移为 $4$ ，竖直位移为 $7$ 。所以最大距离为 $\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}$ 。故正确答案是 D。

The outer and inner side lengths are $7$ and $5.$ At any inner vertex, the two pieces of the outer side have lengths $x$ and $y$ with $x+y=7,\qquad x^2+y^2=25.$ Hence $2xy=49-25=24,$ so $\{x,y\}=\{3,4\}.$ From an inner vertex on one side, the farther opposite outer vertex has horizontal displacement $4$ and vertical displacement $7.$ The greatest distance is therefore $\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}.$ Thus the correct answer is D.

1993 AMC 12 第 13 题

答案：D

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题