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1955 AMC 12 第 13 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

分式 a−4−b−4a−2−b−2\dfrac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}-b^{-2}} 等于：

The fraction a−4−b−4a−2−b−2\dfrac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}-b^{-2}} is equal to:

a−6−b−6a^{-6}-b^{-6}

a−2−b−2a^{-2}-b^{-2}

a−2+b−2a^{-2}+b^{-2}

a2+b2a^2+b^2

a2−b2a^2-b^2

答案：C
知识点：平方差negative exponentsrational expression
难度评级：1280
小提示：

把 a−4−b−4a^{-4}-b^{-4} 看作平方差

Regard a−4−b−4a^{-4}-b^{-4} as a difference of squares

大提示：

用 a−2a^{-2} 和 b−2b^{-2} 将它因式分解

Factor it using a−2a^{-2} and b−2b^{-2}

解答：

将分子因式分解：a−4−b−4=(a−2−b−2)⋅(a−2+b−2)。 \begin{aligned} a^{-4}-b^{-4} &=(a^{-2}-b^{-2})\\ &\quad\cdot(a^{-2}+b^{-2}) \end{aligned}\text{。}在原分式有定义的情况下，约去公因式后得到 a−2+b−2a^{-2}+b^{-2}。

因此，正确答案是 C。

Factoring the numerator, a−4−b−4=(a−2−b−2)⋅(a−2+b−2). \begin{aligned} a^{-4}-b^{-4} &=(a^{-2}-b^{-2})\\ &\quad\cdot(a^{-2}+b^{-2}). \end{aligned} Where the original fraction is defined, canceling the common factor leaves a−2+b−2.a^{-2}+b^{-2}.

Thus, the correct answer is C.

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