Question

若正数数列 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 对所有正整数 $n$ 都满足 $a_{n+2}=a_na_{n+1}$ ，则数列 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 是等比数列的条件为

If $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is a sequence of positive numbers such that $a_{n+2}=a_na_{n+1}$ for all positive integers $n,$ then the sequence $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is a geometric progression

任意正数 $a_1$ 和 $a_2$ 均可

for all positive values of $a_1$ and $a_2$

当且仅当 $a_1=a_2$

if and only if $a_1=a_2$

当且仅当 $a_1=1$

if and only if $a_1=1$

当且仅当 $a_2=1$

if and only if $a_2=1$

当且仅当 $a_1=a_2=1$

if and only if $a_1=a_2=1$

答案：E

知识点：递推等比数列比与比例

难度评级：1860

小提示：

用 $a_1$ 、 $a_2$ 表示 $a_3$ 、 $a_4$ 和 $a_5$

Write out $a_3,$ $a_4,$ and $a_5$ in terms of $a_1,$ $a_2$

大提示：

令前三个相邻项之比相等，并利用各项为正

Equate the first three successive ratios and use positivity

解答：

接下来的各项为 $a_3=a_1a_2$ 、 $a_4=a_1a_2^2$ 和 $a_5=a_1^2a_2^3$ 。若该数列为等比数列，则 $\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $a_2=a_1^2$ ，且 $a_2=a_1$ 。由各项为正可知 $a_1=a_2=1$ 。反之，这两个初值会产生常数等比数列 $1,1,1,\ldots$ 。

因此，正确答案是 E。

The next terms are $a_3=a_1a_2,$ $a_4=a_1a_2^2,$ and $a_5=a_1^2a_2^3.$ If the sequence is geometric, then $\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1. \end{aligned}$ Thus $a_2=a_1^2$ and $a_2=a_1.$ Positivity forces $a_1=a_2=1.$ Conversely, these initial values produce the constant geometric sequence $1,1,1,\ldots.$

Therefore, the correct answer is E.

1977 AMC 12 第 13 题

答案：E

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题