Question

若 $xy=a$ 、 $xz=b$ 、 $yz=c$ ，且这些量都不为 $0$ ，则 $x^2+y^2+z^2$ 等于

If $xy=a,$ $xz=b,$ and $yz=c,$ and none of these quantities is $0,$ then $x^2+y^2+z^2$ equals

$\frac{ab+ac+bc}{abc}$

$\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}$

$\frac{(a+b+c)^2}{abc}$

$\frac{(ab+ac+bc)^2}{abc}$

$\frac{(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2}{abc}$

答案：E

知识点：方程组代数变形

难度评级：1730

小提示：

将 $xy=a$ 、 $xz=b$ 、 $yz=c$ 中的两个等式相乘，再除以第三个

Multiply two of $xy=a,$ $xz=b,$ and $yz=c,$ then divide by the third

大提示：

利用 $x^2=\frac{ab}{c}$ 、 $y^2=\frac{ac}{b}$ 、 $z^2=\frac{bc}{a}$

Use $x^2=\frac{ab}{c},$ $y^2=\frac{ac}{b},$ and $z^2=\frac{bc}{a}$

解答：

由三个乘积可得 $\begin{aligned} x^2&=\frac{ab}{c},\\ y^2&=\frac{ac}{b},\\ z^2&=\frac{bc}{a} \end{aligned}\text{。}$ 将它们的和通分到分母 $abc$ ，得到 $\begin{aligned} x^2+y^2+z^2 &=\frac{(ab)^2+(ac)^2}{abc}\\ &\quad+\frac{(bc)^2}{abc} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 E。

From the three products, $\begin{aligned} x^2&=\frac{ab}{c},\\ y^2&=\frac{ac}{b},\\ z^2&=\frac{bc}{a}. \end{aligned}$ Putting their sum over denominator $abc$ gives $\begin{aligned} x^2+y^2+z^2 &=\frac{(ab)^2+(ac)^2}{abc}\\ &\quad+\frac{(bc)^2}{abc}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

1983 AMC 12 第 13 题

答案：E

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题