Question

等边三角形 $\triangle ABE$ 的顶点 $E$ 在单位正方形 $ABCD$ 的内部。令 $R$ 为所有位于 $ABCD$ 内部、 $\triangle ABE$ 外部，且到 $\overline{AD}$ 的距离介于 $\tfrac{1}{3}$ 和 $\tfrac{2}{3}$ 之间的点组成的区域。 $R$ 的面积是多少？

Vertex $E$ of equilateral $\triangle ABE$ is in the interior of unit square $ABCD.$ Let $R$ be the region consisting of all points inside $ABCD$ and outside $\triangle ABE$ whose distance from $\overline{AD}$ is between $\tfrac{1}{3}$ and $\tfrac{2}{3}.$ What is the area of $R?$

$\dfrac{12 - 5\sqrt{3}}{72}$

$\dfrac{12 - 5\sqrt{3}}{36}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{18}$

$\dfrac{3 - \sqrt{3}}{9}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{12}$

答案：B

知识点：坐标几何等边三角形微积分

难度评级：1730

小提示：

把 $\overline{AD}$ 看作正方形的一条边；“到 $\overline{AD}$ 的距离在 $\tfrac13$ 和 $\tfrac23$ 之间”是一个宽 $\tfrac13$ 、面积 $\tfrac13$ 的竖直条带。

Take $\overline{AD}$ as a side of the square; “distance from $\overline{AD}$ between $\tfrac13$ and $\tfrac23$ ” is a vertical strip of width $\tfrac13$ and area $\tfrac13$

大提示：

从该条带面积 $\tfrac13$ 中减去条带内落在 $\triangle ABE$ 内部的部分。

From that strip’s area $\tfrac13,$ subtract the part of the strip that lies inside $\triangle ABE$

解答：

令 $A = (0,0)$ 、 $B = (1,0)$ 、 $C = (1,1)$ 、 $D = (0,1)$ ，则 $\overline{AD}$ 在 $y$ 轴上，到 $\overline{AD}$ 的距离就是 $x$ 坐标。区域位于条带 $\tfrac13 \le x \le \tfrac23$ 中，该条带在正方形内的面积为 $\tfrac13$ 。

等边三角形 $\triangle ABE$ 有 $E = \left(\tfrac12, \tfrac{\sqrt3}{2}\right)$ ，边 $AE$ 在 $y = \sqrt3\,x$ 上，边 $BE$ 在 $y = \sqrt3(1 - x)$ 上。三角形在条带内的面积为 $\begin{aligned} &\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \sqrt3\,x\,dx \\ &\quad {}+ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}} \sqrt3(1 - x)\,dx \\ &= 2\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\sqrt3\,x\,dx \\ &= \frac{5\sqrt3}{36} \end{aligned}\text{。}$

因此 $[R] = \frac13 - \frac{5\sqrt3}{36} = \frac{12 - 5\sqrt3}{36}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Place $A = (0,0),$ $B = (1,0),$ $C = (1,1),$ $D = (0,1),$ so $\overline{AD}$ lies along the $y$ -axis and distance from $\overline{AD}$ is the $x$ -coordinate. The region lies in the strip $\tfrac13 \le x \le \tfrac23,$ which within the square has area $\tfrac13.$

Equilateral $\triangle ABE$ has $E = \left(\tfrac12, \tfrac{\sqrt3}{2}\right),$ with side $AE$ on $y = \sqrt3\,x$ and side $BE$ on $y = \sqrt3(1 - x).$ The area of the triangle inside the strip is $\begin{aligned} &\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \sqrt3\,x\,dx \\ &\quad {}+ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}} \sqrt3(1 - x)\,dx \\ &= 2\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\sqrt3\,x\,dx \\ &= \frac{5\sqrt3}{36}. \end{aligned}$

Therefore $[R] = \frac13 - \frac{5\sqrt3}{36} = \frac{12 - 5\sqrt3}{36}.$

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 12B 第 13 题

答案：B

难度评级：1730

小提示：

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解答：

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