Question

存在都大于 $1$ 的整数 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，使得对所有 $N \gt 1$ 都有 $\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}\text{。}$ $b$ 是多少？

There are integers $a,$ $b,$ and $c,$ each greater than $1,$ such that $\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}$ for all $N \gt 1.$ What is $b?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

答案：B

知识点：根式指数

难度评级：1590

小提示：

将左边写成 $N$ 的幂，指数为 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}$ 。

Write the left side as $N$ to the power $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}$

大提示：

令这个指数等于 $\dfrac{25}{36}$ ，并从 $a = 2$ 开始逐层确定嵌套变量

Set that exponent equal to $\dfrac{25}{36}$ and peel off one nested variable at a time starting with $a = 2$

解答：

左边等于 $N$ 的 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}$ 次幂，而这个指数必须等于 $\dfrac{25}{36}$ 。

因为 $b,c\ge2$ ，这个指数至多为 $\dfrac{7}{4a}$ 。如果 $a\ge3$ ，它至多为 $\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36}$ ，所以 $a=2$ 。方程变为 $\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}$ 。

清除分母得到 $c(7b-18)=18$ 。令 $d=7b-18$ ，则 $d$ 是 $18$ 的正因数。在 $1,2,3,6,9,18$ 中，只有 $d=3$ 能使 $b=\dfrac{d+18}{7}$ 为整数。因此 $b=3$ 且 $c=6$ 。

所以 B 是正确答案。

The left side equals $N$ raised to the exponent $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc},$ which must equal $\dfrac{25}{36}.$

Because $b,c\ge2,$ this exponent is at most $\dfrac{7}{4a}.$ If $a\ge3,$ it is at most $\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36},$ so $a=2.$ The equation becomes $\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}.$

Clearing denominators gives $c(7b-18)=18.$ Set $d=7b-18,$ so $d$ is a positive divisor of $18.$ Among $1,2,3,6,9,18,$ only $d=3$ makes $b=\dfrac{d+18}{7}$ an integer. Hence $b=3$ and $c=6.$

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 13 题

答案：B

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题