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1972 AMC 12 第 13 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

在边长为 1212 英寸的正方形 ABCDABCD 中，连接线段 AEAE，其中 EE 是边 DCDC 上距 DD 为 55 英寸的点。作 AEAE 的垂直平分线，它依次与 AEAE、ADAD 和 BCBC 相交于 MM、PP 和 QQ。线段 PMPM 与 MQMQ 的比为：

Inside square ABCDABCD with sides of length 1212 inches, segment AEAE is drawn, where EE is the point on DCDC which is 55 inches from D.D. The perpendicular bisector of AEAE is drawn and intersects AE,AE, AD,AD, and BCBC at points M,M, P,P, and Q,Q, respectively. The ratio of segment PMPM to MQMQ is:

5:125{:}12

5:135{:}13

5:195{:}19

1:41{:}4

5:215{:}21

答案：C
知识点：正方形（几何）中点垂直平分线相似
难度评级：1950
小提示：

过 MM 作一条平行于 ABAB 的直线

Draw through MM a line parallel to ABAB

大提示：

MM 到 ADAD 和 BCBC 的水平距离分别为 52\frac{5}{2} 和 192\frac{19}{2}

The horizontal distances from MM to ADAD and BCBC are 52\frac{5}{2} and 192\frac{19}{2}

解答：

因为 MM 是 AEAE 的中点，所以它到 ADAD 的水平距离为 52\frac{5}{2}。它到 BCBC 的距离为 12−52=192。 12-\frac52=\frac{19}{2}\text{。}过 MM 的水平线在直线 PQPQ 两侧截出的两个直角三角形相似，因此它们的斜边之比等于相应水平直角边之比：PM:MQ=52:192=5:19。 PM:MQ=\frac52:\frac{19}{2}=5:19\text{。}

因此，正确答案是 C。

Because MM is the midpoint of AE,AE, its horizontal distance from ADAD is 52.\frac{5}{2}. Its distance from BCBC is 12−52=192. 12-\frac52=\frac{19}{2}. The two right triangles cut from line PQPQ by the horizontal through MM are similar, so their hypotenuses are in the ratio of these horizontal legs: PM:MQ=52:192=5:19. PM:MQ=\frac52:\frac{19}{2}=5:19.

Therefore, the correct answer is C.

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