Question

有多少个正整数对 $(a,b)$ 既满足 $a+b\le100$ ，又满足方程 $\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13\text{？}$

How many pairs of positive integers $(a,b)$ with $a+b\le100$ satisfy the equation $\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13?$

$1$

$5$

$7$

$9$

$13$

答案：C

知识点：rational expression positive integer solutions 整除性

难度评级：1800

小提示：

将分子和分母同时乘以 $ab$

Multiply the numerator and denominator by $ab$

大提示：

化简后把 $a$ 表示成 $b$ 的倍数，再使用 $a+b$ 的上界

After simplifying, write $a$ as a multiple of $b$ and apply the bound on $a+b$

解答：

将分子和分母同时乘以 $ab$ ，得到 $\frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab\text{。}$ 因此 $a=13b$ 。条件 $a+b\le100$ 变为 $14b\le100$ ，所以 $b$ 可以取从 $1$ 到 $7$ 的任一整数，共有 $7$ 对。

因此正确答案是 C。

Multiplying the numerator and denominator by $ab$ gives $\frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab.$ Thus $a=13b.$ The condition $a+b\le100$ becomes $14b\le100,$ so $b$ may be any integer from $1$ through $7.$ There are $7$ pairs.

Thus the correct answer is C.

1992 AMC 12 第 13 题

答案：C

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题