Question

菱形 $ABCD$ 与菱形 $BFDE$ 相似。菱形 $ABCD$ 的面积为 $24$ ，且 $\angle BAD = 60^\circ$ 。菱形 $BFDE$ 的面积是多少？

Rhombus $ABCD$ is similar to rhombus $BFDE.$ The area of rhombus $ABCD$ is $24,$ and $\angle BAD = 60^\circ.$ What is the area of rhombus $BFDE?$

$6$

$4\sqrt{3}$

$8$

$9$

$6\sqrt{3}$

答案：C

知识点：菱形等边三角形面积分割

难度评级：1660

小提示：

因为 $\angle BAD = 60^\circ$ ，三角形 $ABD$ 是等边三角形，所以 $BD$ 等于菱形的边长。

Since $\angle BAD = 60^\circ,$ triangle $ABD$ is equilateral, so $BD$ equals a side

大提示：

若对角线交于 $O$ ，则 $\triangle ABO$ 是一个 $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ 三角形；比较长、短对角线

If the diagonals meet at $O,$ then $\triangle ABO$ is a $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ triangle; compare the long and short diagonals

解答：

设菱形 $ABCD$ 的两条对角线交于 $O$ 。它们互相垂直平分；又因为 $\angle BAD=60^\circ$ ，所以三角形 $ABO$ 是 $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ 三角形。因此两条半对角线满足 $AO=\sqrt3\,BO$ 。

线段 $BD$ 是 $ABCD$ 的短对角线，也是相似菱形 $BFDE$ 的长对角线。因此小菱形与大菱形的长度之比为 $\frac{BD}{AC}=\frac{BO}{AO}=\frac{1}{\sqrt3}$ 。面积按这个比的平方缩放，所以 $BFDE$ 的面积为 $24\cdot\dfrac13=8$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the diagonals of $ABCD$ meet at $O.$ They bisect each other at right angles, and since $\angle BAD=60^\circ,$ triangle $ABO$ is a $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ triangle. Hence the half-diagonals satisfy $AO=\sqrt3\,BO.$

The segment $BD$ is the short diagonal of $ABCD$ and the long diagonal of the similar rhombus $BFDE.$ Thus the smaller-to-larger length ratio is $\frac{BD}{AC}=\frac{BO}{AO}=\frac{1}{\sqrt3}.$ Areas scale by the square of this ratio, so the area of $BFDE$ is $24\cdot\dfrac13=8.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B 第 13 题

答案：C

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题