Question

Elmo 为筹款活动制作 $N$ 个三明治。每个三明治使用 $B$ 团花生酱，每团 $4$ ¢；以及 $J$ 团果酱，每团 $5$ ¢。制作所有三明治所用花生酱和果酱的成本为 $\$2.53$ 。假设 $B$ 、 $J$ 和 $N$ 都是正整数，且 $N \gt 1$ 。Elmo 制作这些三明治所用果酱的成本是多少？

Elmo makes $N$ sandwiches for a fundraiser. For each sandwich he uses $B$ globs of peanut butter at $4$ ¢ per glob and $J$ blobs of jam at $5$ ¢ per blob. The cost of the peanut butter and jam to make all the sandwiches is $\$2.53.$ Assume that $B,$ $J,$ and $N$ are positive integers with $N \gt 1.$ What is the cost of the jam Elmo uses to make the sandwiches?

$\$1.05$

$\$1.25$

$\$1.45$

$\$1.65$

$\$1.85$

答案：D

知识点：丢番图方程质因数分解分类讨论

难度评级：1680

小提示：

总成本为 $N(4B + 5J) = 253$ 美分；分解 $253$ 。

The total cost is $N(4B + 5J) = 253$ cents; factor $253$

大提示：

检验约数 $N = 11, 23, 253$ ，并要求 $B$ 和 $J$ 都是正整数。

Test $N = 11, 23, 253,$ then determine the numbers of peanut-butter globs $B$ and jam blobs $J$

解答：

以美分计，总成本为 $N(4B + 5J) = 253 = 11 \cdot 23$ 。因为 $N \gt 1$ ， $N$ 的可能值为 $11$ 、 $23$ 或 $253$ 。

若 $N = 253$ 则 $4B + 5J = 1$ ；若 $N = 23$ 则 $4B + 5J = 11$ ；二者都没有正整数解。

所以 $N = 11$ ，且 $4B + 5J = 23$ ，唯一的正整数解为 $B = 2$ 、 $J = 3$ 。

果酱成本为 $N \cdot J \cdot 5$ ¢ $= 11 \cdot 3 \cdot 5 = 165$ 美分，即 $\$1.65$ 。

因此，正确答案是 D。

The total cost in cents is $N(4B + 5J) = 253 = 11 \cdot 23.$ Since $N \gt 1,$ the value of $N$ is $11,$ $23,$ or $253.$

If $N = 253$ then $4B + 5J = 1,$ and if $N = 23$ then $4B + 5J = 11;$ neither has a positive integer solution.

So $N = 11$ and $4B + 5J = 23,$ whose only positive solution is $B = 2,$ $J = 3.$

The jam costs $N \cdot J \cdot 5$ ¢ $= 11 \cdot 3 \cdot 5 = 165$ cents, or $\$1.65.$

Thus, the correct answer is D.

2006 AMC 12B 第 14 题

答案：D

难度评级：1680

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题