1970 AMC 12 第 14 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1970 AMC 12 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

考虑方程 $x^2+px+q=0$ ，其中 $p$ 和 $q$ 均为正数。若此方程的两根相差 $1$ ，则 $p$ 等于：

Consider $x^2+px+q=0,$ where $p$ and $q$ are positive numbers. If the roots of this equation differ by $1,$ then $p$ equals:

$\sqrt{4q+1}$

$q-1$

$-\sqrt{4q+1}$

$q+1$

$\sqrt{4q-1}$

答案：A

知识点：二次方程韦达定理

难度评级：1670

小提示：

用求根公式表示两根之差

Use the quadratic formula to express the difference of the roots

大提示：

两根之差的绝对值为 $\sqrt{p^2-4q}$

The difference has magnitude $\sqrt{p^2-4q}$

解答：

两根之差的绝对值为 $\sqrt{p^2-4q}\text{。}$ 因此 $p^2-4q=1$ ，所以 $p^2=4q+1$ 。因为 $p$ 为正数，故 $p=\sqrt{4q+1}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The two roots differ in absolute value by $\sqrt{p^2-4q}.$ Hence $p^2-4q=1,$ so $p^2=4q+1.$ Since $p$ is positive, $p=\sqrt{4q+1}.$

Therefore, the correct answer is A.

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