Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 13$ 、 $AC = 5$ 、 $BC = 12$ 。点 $M$ 和 $N$ 分别在 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 上，且 $CM = CN = 4$ 。点 $J$ 和 $K$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{MJ}$ 和 $\overline{NK}$ 都垂直于 $\overline{AB}$ 。五边形 $CMJKN$ 的面积是多少？

In $\triangle ABC,$ $AB = 13,$ $AC = 5$ and $BC = 12.$ Points $M$ and $N$ lie on $\overline{AC}$ and $\overline{BC},$ respectively, with $CM = CN = 4.$ Points $J$ and $K$ are on $\overline{AB}$ so that $\overline{MJ}$ and $\overline{NK}$ are perpendicular to $\overline{AB}.$ What is the area of pentagon $CMJKN?$

$15$

$\dfrac{81}{5}$

$\dfrac{205}{12}$

$\dfrac{240}{13}$

$20$

答案：D

知识点：相似直角三角形面积分割

难度评级：1680

小提示：

因为 $5^2 + 12^2 = 13^2$ ， $\triangle ABC$ 在 $C$ 处为直角。

$\triangle ABC$ is right-angled at $C$ since $5^2 + 12^2 = 13^2$

大提示：

$\triangle AMJ$ 和 $\triangle NBK$ 与 $\triangle ABC$ 相似，斜边分别为 $AM = 1$ 和 $BN = 8$ 。

$\triangle AMJ$ and $\triangle NBK$ are similar to $\triangle ABC$ with hypotenuses $AM = 1$ and $BN = 8$

解答：

因为 $5^2 + 12^2 = 13^2$ ， $\triangle ABC$ 在 $C$ 处为直角，面积为 $\tfrac12 (5)(12) = 30$ 。小直角三角形 $\triangle AMJ$ 和 $\triangle NBK$ 都与 $\triangle ABC$ 相似，斜边分别为 $AM = 5 - 4 = 1$ 和 $BN = 12 - 4 = 8$ 。它们的面积为 $\left(\dfrac{1}{13}\right)^2 (30)$ 和 $\left(\dfrac{8}{13}\right)^2 (30)$ 。

五边形是剩余部分： $\begin{gathered} \left(1 - \dfrac{1}{169} - \dfrac{64}{169}\right)(30) \\ {}= \dfrac{104}{169}(30) = \dfrac{240}{13} \end{gathered}\text{。}$

因此正确答案是 D。

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ $\triangle ABC$ is right-angled at $C$ with area $\tfrac12 (5)(12) = 30.$ The small right triangles $\triangle AMJ$ and $\triangle NBK$ are each similar to $\triangle ABC,$ with hypotenuses $AM = 5 - 4 = 1$ and $BN = 12 - 4 = 8.$ Their areas are $\left(\dfrac{1}{13}\right)^2 (30)$ and $\left(\dfrac{8}{13}\right)^2 (30).$

The pentagon is what remains: $\begin{gathered} \left(1 - \dfrac{1}{169} - \dfrac{64}{169}\right)(30) \\ {}= \dfrac{104}{169}(30) = \dfrac{240}{13}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 12B 第 14 题

答案：D

难度评级：1680

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题