Question

方程 $\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8$ 的解中， $x$ 是正实数且不等于 $\tfrac13$ 或 $\tfrac12$ ，该解可写成 $\tfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。 $p + q$ 是多少？

The solution to the equation $\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8,$ where $x$ is a positive real number other than $\tfrac13$ or $\tfrac12,$ can be written as $\tfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p + q?$

$5$

$13$

$17$

$31$

$35$

答案：D

知识点：对数

难度评级：1730

小提示：

用共同底数改写两边： $\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x}$ ， $\log_{2x} 8$ 同理

Rewrite both sides with a common base: $\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x},$ and similarly for $\log_{2x} 8$

大提示：

交叉相乘后方程化为 $(2x)^2 = (3x)^3$ ；解出 $x$ 并写成既约分数

Cross-multiplying reduces the equation to $(2x)^2 = (3x)^3;$ solve for $x$ as a reduced fraction

解答：

把两个对数都写成以 $2$ 为底： $\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x}$ ，所以 $2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x$ ，即 $(2x)^2 = (3x)^3$ 。于是 $4x^2 = 27x^3$ ，得 $x = \tfrac{4}{27}$ 。因为 $\gcd(4, 27) = 1$ ，所以 $p + q = 4 + 27 = 31$ 。

所以正确答案是 D。

Writing both logarithms in base $2:$ $\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x},$ so $2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x,$ i.e. $(2x)^2 = (3x)^3.$ Then $4x^2 = 27x^3,$ giving $x = \tfrac{4}{27}.$ Since $\gcd(4, 27) = 1,$ we get $p + q = 4 + 27 = 31.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12A 第 14 题

答案：D

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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