1992 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

若 $3(4x+5\pi)=P$ ，则 $6(8x+10\pi)=$

If $3(4x+5\pi)=P,$ then $6(8x+10\pi)=$

$2P$

$4P$

$6P$

$8P$

$18P$

知识点：algebraic scaling 分配律

难度评级：770

小提示：

比较 $8x+10\pi$ 与 $4x+5\pi$

Compare $8x+10\pi$ with $4x+5\pi$

大提示：

分别考虑括号内表达式的倍数变化和括号外系数的倍数变化

Account separately for the change inside the parentheses and the change in the outside coefficient

解答：

由 $8x+10\pi=2(4x+5\pi)$ ，可得 $\begin{gathered} 6(8x+10\pi)\\ {}=12(4x+5\pi)\\ {}=4\bigl[3(4x+5\pi)\bigr]\\ {}=4P \end{gathered}\text{。}$

因此正确答案是 B。

We have $8x+10\pi=2(4x+5\pi),$ so $\begin{gathered} 6(8x+10\pi)\\ {}=12(4x+5\pi)\\ {}=4\bigl[3(4x+5\pi)\bigr]\\ {}=4P. \end{gathered}$

Thus the correct answer is B.

2.

一个瓮中装有硬币和珠子，每件物品不是银制就是金制。瓮中物品的百分之二十是珠子，硬币的百分之四十是银制的。金制硬币占瓮中全部物品的百分之几？

An urn is filled with coins and beads, all of which are either silver or gold. Twenty percent of the objects in the urn are beads. Forty percent of the coins in the urn are silver. What percent of the objects in the urn are gold coins?

$40\%$

$48\%$

$52\%$

$60\%$

$80\%$

知识点：percent complementary percentage

难度评级：890

小提示：

先求硬币占全部物品的百分比

First find the percent of all objects that are coins

大提示：

再用银制硬币所占百分比的补数求金制硬币所占百分比

Of those coins, use the complement of the silver percentage

解答：

硬币占全部物品的 $80\%$ ，其中 $60\%$ 的硬币是金制的。因此金制硬币所占的比例为 $0.80\cdot0.60=0.48=48\%\text{，}$ 这里是相对全部物品而言的。

因此正确答案是 B。

Coins make up $80\%$ of the objects, and $60\%$ of the coins are gold. Thus gold coins make up $0.80\cdot0.60=0.48=48\%$ of all the objects.

Thus the correct answer is B.

3.

若 $m\gt0$ ，且点 $(m,3)$ 和 $(1,m)$ 在一条斜率为 $m$ 的直线上，则 $m=$

If $m\gt0$ and the points $(m,3)$ and $(1,m)$ lie on a line with slope $m,$ then $m=$

$1$

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt5$

知识点：slope formula quadratic equation

难度评级：1420

小提示：

写出两给定点之间的斜率

Write the slope between the two given points

大提示：

令 $\frac{m-3}{1-m}=m$ ，并利用正值条件

Set $\frac{m-3}{1-m}=m$ and use the positivity condition

解答：

由斜率条件得 $\frac{m-3}{1-m}=m\text{。}$ 因此 $m-3=m-m^2$ ，从而 $m^2=3$ 。因为 $m\gt0$ ，所以 $m=\sqrt3$ 。

因此正确答案是 C。

The slope condition gives $\frac{m-3}{1-m}=m.$ Therefore $m-3=m-m^2,$ so $m^2=3.$ Since $m\gt0,$ we obtain $m=\sqrt3.$

Thus the correct answer is C.

4.

若 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 都是正整数，且 $a$ 与 $b$ 都是奇数，则 $3^a+(b-1)^2c$

If $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $a$ and $b$ are odd, then $3^a+(b-1)^2c$ is

对任意 $c$ 都是奇数

odd for all choices of $c$

对任意 $c$ 都是偶数

even for all choices of $c$

当 $c$ 为偶数时是奇数；当 $c$ 为奇数时是偶数

odd if $c$ is even; even if $c$ is odd

当 $c$ 为奇数时是奇数；当 $c$ 为偶数时是偶数

odd if $c$ is odd; even if $c$ is even

当 $c$ 不是 $3$ 的倍数时是奇数；当 $c$ 是 $3$ 的倍数时是偶数

odd if $c$ is not a multiple of $3$ ; even if $c$ is a multiple of $3$

知识点：奇偶性 powers

难度评级：960

小提示：

分别判断两个加数的奇偶性

Determine the parity of each of the two terms

大提示：

因为 $b$ 是奇数，所以 $b-1$ 是偶数

Because $b$ is odd, $b-1$ is even

解答：

$3^a$ 是奇数。由于 $b-1$ 是偶数，所以对于任意正整数 $c$ ， $(b-1)^2c$ 都是偶数。奇数与偶数之和总是奇数。

因此正确答案是 A。

The power $3^a$ is odd. Since $b-1$ is even, $(b-1)^2c$ is even for every positive integer $c.$ The sum of an odd integer and an even integer is always odd.

Thus the correct answer is A.

5.

$6^6+6^6+6^6+6^6+6^6+6^6=$

$6^6$

$6^7$

$36^6$

$6^{36}$

$36^{36}$

知识点：repeated addition exponent rule

难度评级：890

小提示：

提取重复出现的加数 $6^6$

Factor the repeated summand $6^6$

大提示：

共有六个完全相同的加数

There are exactly six identical terms

解答：

提取公因式可得 $6\cdot6^6=6^{1+6}=6^7$ 。

因此正确答案是 B。

Factoring gives $6\cdot6^6=6^{1+6}=6^7.$

Thus the correct answer is B.

6.

若 $x\gt y\gt0$ ，则 $\frac{x^y y^x}{y^y x^x}=$

If $x\gt y\gt0,$ then $\frac{x^y y^x}{y^y x^x}=$

$(x-y)^{\frac{y}{x}}$

$\left(\frac{x}{y}\right)^{x-y}$

$1$

$\left(\frac{x}{y}\right)^{y-x}$

$(x-y)^{\frac{x}{y}}$

知识点：laws of exponents simplifying quotients

难度评级：1570

小提示：

分别合并 $x$ 的幂和 $y$ 的幂

Collect the powers of $x$ and the powers of $y$ separately

大提示：

用一个比值改写 $x^{y-x}y^{x-y}$

Rewrite $x^{y-x}y^{x-y}$ using a single ratio

解答：

合并同底数幂可得 $\frac{x^y y^x}{y^y x^x} =x^{y-x}y^{x-y} =\left(\frac{x}{y}\right)^{y-x}\text{。}$

因此正确答案是 D。

Combining like bases, $\frac{x^y y^x}{y^y x^x} =x^{y-x}y^{x-y} =\left(\frac{x}{y}\right)^{y-x}.$

Thus the correct answer is D.

7.

$w$ 与 $x$ 之比为 $4:3$ ， $y$ 与 $z$ 之比为 $3:2$ ，而 $z$ 与 $x$ 之比为 $1:6$ 。求 $w$ 与 $y$ 之比。

The ratio of $w$ to $x$ is $4:3,$ of $y$ to $z$ is $3:2,$ and of $z$ to $x$ is $1:6.$ What is the ratio of $w$ to $y?$

$1:3$

$16:3$

$20:3$

$27:4$

$12:1$

知识点：ratios proportional reasoning

难度评级：1260

小提示：

把 $w$ 和 $y$ 都表示成 $x$ 的倍数

Express both $w$ and $y$ as multiples of $x$

大提示：

使用 $\frac{w}{y}=\frac{w}{x}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{z}{y}$

Use $\frac{w}{y}=\frac{w}{x}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{z}{y}$

解答：

将已知比值相乘，得到 $\begin{aligned} \frac wy &=\frac wx\cdot\frac xz\cdot\frac zy\\ &=\frac43\cdot6\cdot\frac23=\frac{16}{3} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $w:y=16:3$ 。

因此正确答案是 B。

Multiplying the given ratios, $\begin{aligned} \frac wy &=\frac wx\cdot\frac xz\cdot\frac zy\\ &=\frac43\cdot6\cdot\frac23=\frac{16}{3}. \end{aligned}$ Thus $w:y=16:3.$

Thus the correct answer is B.

8.

一个正方形地面由全等的正方形瓷砖铺成。两条对角线上的瓷砖是黑色的，其余瓷砖是白色的。若共有 $101$ 块黑色瓷砖，则瓷砖总数为

A square floor is tiled with congruent square tiles. The tiles on the two diagonals of the floor are black. The rest of the tiles are white. If there are $101$ black tiles, then the total number of tiles is

$121$

$625$

$676$

$2500$

$2601$

知识点：square grid diagonals counting overlap

难度评级：1260

小提示：

若地面每边有 $n$ 块瓷砖，计算两条对角线上的瓷砖数

If the floor has $n$ tiles on a side, count the tiles on both diagonals

大提示：

由于黑色瓷砖总数为奇数，两条对角线共用中央的一块瓷砖

Because the total number of black tiles is odd, the two diagonals share one center tile

解答：

当 $n$ 为奇数时，每条对角线含有 $n$ 块瓷砖，两条对角线只共用中央的一块。因此 $2n-1=101$ ，所以 $n=51$ 。地面共有 $51^2=2601$ 块瓷砖。

因此正确答案是 E。

For an odd $n,$ each diagonal contains $n$ tiles and the two diagonals share only the center tile. Hence $2n-1=101,$ so $n=51.$ The floor therefore contains $51^2=2601$ tiles.

Thus the correct answer is E.

9.

五个边长均为 $2\sqrt3$ 的等边三角形排列在同一直线的一侧，且每个三角形都有一条边在该直线上。沿着这条直线，一个三角形底边的中点是下一个三角形的一个顶点。这五个三角形区域的并集所覆盖的平面区域面积为

Five equilateral triangles, each with side $2\sqrt3,$ are arranged so they are all on the same side of a line containing one side of each. Along this line, the midpoint of the base of one triangle is a vertex of the next. The area of the region of the plane that is covered by the union of the five triangular regions is

$10$

$12$

$15$

$10\sqrt3$

$12\sqrt3$

知识点：equilateral triangle area 容斥原理 overlapping regions

难度评级：1780

小提示：

先把五个大三角形的面积相加，再减去重叠部分

Add the areas of the five large triangles, then subtract their overlaps

大提示：

每一对相邻三角形的重叠部分都是边长为原来一半的等边三角形

Each adjacent overlap is an equilateral triangle with half the original side length

解答：

每个大三角形的面积为 $\frac{\sqrt3}{4}(2\sqrt3)^2=3\sqrt3\text{。}$ 四个重叠部分都是边长为 $\sqrt3$ 的等边三角形，面积均为 $\frac{3\sqrt3}{4}$ 。不存在三个三角形共同重叠的区域，所以并集的面积为 $5(3\sqrt3)-4\left(\frac{3\sqrt3}{4}\right)=12\sqrt3\text{。}$

因此正确答案是 E。

Each large triangle has area $\frac{\sqrt3}{4}(2\sqrt3)^2=3\sqrt3.$ Each of the four overlaps is an equilateral triangle of side $\sqrt3,$ hence area $\frac{3\sqrt3}{4}.$ There are no triple overlaps, so the union has area $5(3\sqrt3)-4\left(\frac{3\sqrt3}{4}\right)=12\sqrt3.$

Thus the correct answer is E.

10.

使方程 $kx-12=3k$ 对 $x$ 有整数解的正整数 $k$ 的个数为

The number of positive integers $k$ for which the equation $kx-12=3k$ has an integer solution for $x$ is

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

知识点：一次方程整除性 positive divisors

难度评级：1420

小提示：

用 $k$ 表示 $x$

Solve the equation for $x$ in terms of $k$

大提示：

当且仅当 $k$ 是 $12$ 的正因数时， $3+\frac{12}{k}$ 才是整数

The expression $3+\frac{12}{k}$ is integral exactly when $k$ is a positive divisor of $12$

解答：

解得 $x=3+\frac{12}{k}$ 。因此，当且仅当 $k$ 是 $12$ 的正因数时， $x$ 才是整数。可能的取值为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $6$ 和 $12$ ，共 $6$ 个。

因此正确答案是 D。

Solving gives $x=3+\frac{12}{k}.$ Thus $x$ is an integer precisely when $k$ is a positive divisor of $12.$ The possibilities are $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ and $12,$ for a total of $6.$

Thus the correct answer is D.

11.

两个同心圆的半径之比为 $1:3$ 。若 $\overline{AC}$ 是大圆的直径， $\overline{BC}$ 是大圆的一条弦且与小圆相切，并且 $AB=12$ ，则大圆的半径为

The ratio of the radii of two concentric circles is $1:3.$ If $\overline{AC}$ is a diameter of the larger circle, $\overline{BC}$ is a chord of the larger circle that is tangent to the smaller circle, and $AB=12,$ then the radius of the larger circle is

$13$

$18$

$21$

$24$

$26$

知识点：circle tangent 直角三角形 similar triangles

难度评级：1810

小提示：

连接圆心与 $\overline{BC}$ 和小圆的切点

Draw the radius to the point where $\overline{BC}$ touches the smaller circle

大提示：

利用切点半径与直径构成的相似直角三角形

Use the similar right triangles formed by the tangent radius and the diameter

解答：

设 $O$ 为共同的圆心， $T$ 为 $\overline{BC}$ 上的切点。由于 $OT\perp BC$ ，且 $\angle ABC=90^\circ$ ，三角形 $OTC$ 与 $ABC$ 相似。若大圆半径为 $R$ ，则 $OT=\frac{R}{3}$ 、 $OC=R$ ，且 $AC=2R$ 。因此 $\frac{OT}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac12\text{。}$ 所以 $OT=6$ ，并且 $R=3OT=18$ 。

因此正确答案是 B。

Let $O$ be the common center and $T$ the tangency point on $\overline{BC}.$ Since $OT\perp BC$ and $\angle ABC=90^\circ,$ triangles $OTC$ and $ABC$ are similar. If the larger radius is $R,$ then $OT=\frac{R}{3},$ $OC=R,$ and $AC=2R.$ Thus $\frac{OT}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac12.$ Hence $OT=6$ and $R=3OT=18.$

Thus the correct answer is B.

12.

直线 $x-3y+11=0$ 关于 $x$ 轴的对称图像为 $y=mx+b$ 。则 $m+b$ 的值为

Let $y=mx+b$ be the image when the line $x-3y+11=0$ is reflected across the $x$ -axis. The value of $m+b$ is

$-6$

$-5$

$-4$

$-3$

$-2$

知识点：reflection equation of a line slope-intercept form

难度评级：1420

小提示：

关于 $x$ 轴对称会把每个点的 $y$ 坐标变为其相反数

Reflection across the $x$ -axis replaces each $y$ -coordinate by its negative

大提示：

在原方程中将 $y$ 替换为 $-y$ ，再解出 $y$

Replace $y$ by $-y$ in the original equation, then solve for $y$

解答：

点 $(x,y)$ 在对称后的直线上，当且仅当 $(x,-y)$ 在原直线上。因此 $x+3y+11=0$ ，即 $y=-\frac13x-\frac{11}{3}\text{。}$ 所以 $m+b=-\frac13-\frac{11}{3}=-4$ 。

因此正确答案是 C。

A point $(x,y)$ is on the reflected line exactly when $(x,-y)$ is on the original line. Hence $x+3y+11=0,$ or $y=-\frac13x-\frac{11}{3}.$ Therefore $m+b=-\frac13-\frac{11}{3}=-4.$

Thus the correct answer is C.

13.

有多少个正整数对 $(a,b)$ 既满足 $a+b\le100$ ，又满足方程 $\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13\text{？}$

How many pairs of positive integers $(a,b)$ with $a+b\le100$ satisfy the equation $\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13?$

$1$

$5$

$7$

$9$

$13$

知识点：rational expression positive integer solutions 整除性

难度评级：1800

小提示：

将分子和分母同时乘以 $ab$

Multiply the numerator and denominator by $ab$

大提示：

化简后把 $a$ 表示成 $b$ 的倍数，再使用 $a+b$ 的上界

After simplifying, write $a$ as a multiple of $b$ and apply the bound on $a+b$

解答：

将分子和分母同时乘以 $ab$ ，得到 $\frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab\text{。}$ 因此 $a=13b$ 。条件 $a+b\le100$ 变为 $14b\le100$ ，所以 $b$ 可以取从 $1$ 到 $7$ 的任一整数，共有 $7$ 对。

因此正确答案是 C。

Multiplying the numerator and denominator by $ab$ gives $\frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab.$ Thus $a=13b.$ The condition $a+b\le100$ becomes $14b\le100,$ so $b$ may be any integer from $1$ through $7.$ There are $7$ pairs.

Thus the correct answer is C.

14.

下列哪些方程的图像相同？ $\begin{aligned} &\text{I. }y=x-2\\ &\text{II. }y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\\ &\text{III. }(x+2)y=x^2-4 \end{aligned}$

Which of the following equations have the same graph? $\begin{aligned} &\text{I. }y=x-2\\ &\text{II. }y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\\ &\text{III. }(x+2)y=x^2-4 \end{aligned}$

仅 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

仅 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ only

仅 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

$\mathrm{I}$ 、 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$

都不是，所有方程的图像都不同

None. All the equations have different graphs

知识点：graph domain restriction extraneous component

难度评级：1960

小提示：

特别注意 $x=-2$ 时会发生什么

Pay special attention to what happens when $x=-2$

大提示：

方程 II 少了一个点，而方程 III 多出了一整条竖直直线

Equation II omits one point, while equation III includes an entire extra vertical line

解答：

方程 I 表示整条直线 $y=x-2$ 。方程 II 只有在 $x\ne-2$ 时才能化简为该直线，因此少了点 $(-2,-4)$ 。在方程 III 中，每个满足 $x=-2$ 的点都使等式 $0=0$ 成立；对其他 $x$ ，方程给出 $y=x-2$ 。所以 III 表示该直线与整条竖直直线 $x=-2$ 的并集。三个图像各不相同。

因此正确答案是 E。

Equation I is the whole line $y=x-2.$ Equation II simplifies to that line only when $x\ne-2,$ so it omits $(-2,-4).$ In equation III, every point with $x=-2$ satisfies $0=0;$ for other $x$ it gives $y=x-2.$ Thus III is the line together with the entire vertical line $x=-2.$ The three graphs are different.

Thus the correct answer is E.

15.

令 $i=\sqrt{-1}$ 。对 $n\ge1$ ，按下式定义一个复数数列： $\begin{aligned} z_1&=0,\\ z_{n+1}&=z_n^2+i \end{aligned}\text{。}$ 在复平面中， $z_{111}$ 到原点的距离是多少？

Let $i=\sqrt{-1}.$ For $n\ge1,$ define a sequence of complex numbers by $\begin{aligned} z_1&=0,\\ z_{n+1}&=z_n^2+i. \end{aligned}$ In the complex plane, how far from the origin is $z_{111}?$

$1$

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$\sqrt{110}$

$\sqrt{2^{55}}$

知识点：复数 recurrence periodic sequence modulus

难度评级：1960

小提示：

先计算数列的前几项，不要试图直接展开 $z_{111}$

Compute the first few terms rather than trying to expand $z_{111}$

大提示：

从 $z_3$ 开始寻找循环

Look for a cycle beginning with $z_3$

解答：

前几项为 $\begin{aligned} z_1&=0,\quad z_2=i,\quad z_3=-1+i,\\ z_4&=-i,\quad z_5=-1+i \end{aligned}\text{。}$ 因此从 $z_3$ 起，奇数下标项为 $-1+i$ ，偶数下标项为 $-i$ ，两者交替出现。所以 $z_{111}=-1+i$ ，它到原点的距离为 $\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2$ 。

因此正确答案是 B。

The first terms are $\begin{aligned} z_1&=0,\quad z_2=i,\quad z_3=-1+i,\\ z_4&=-i,\quad z_5=-1+i. \end{aligned}$ Hence the sequence alternates between $-1+i$ at odd indices and $-i$ at even indices from $z_3$ onward. Therefore $z_{111}=-1+i,$ whose distance from the origin is $\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2.$

Thus the correct answer is B.

16.

若三个互不相同的正数 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 满足 $\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}$ 则 $\frac{x}{y}=$

If $\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}$ for three positive numbers $x,$ $y,$ and $z,$ all different, then $\frac{x}{y}=$

$\frac12$

$\frac35$

$\frac23$

$\frac53$

$2$

知识点：proportion algebraic system quadratic equation

难度评级：2000

小提示：

令 $r=\frac{x}{y}$ ，用中间的比值表示 $\frac{z}{y}$

Let $r=\frac{x}{y}$ and express $\frac{z}{y}$ using the middle ratio

大提示：

将 $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}$ 代入第一个比值

Substitute $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}$ into the first ratio

解答：

令 $r=\frac{x}{y}\gt0$ 。由 $\frac{x+y}{z}=r$ 得 $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}$ 。于是 $\frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r\text{。}$ 所以 $r^2-r-1=1$ ，即 $r^2-r-2=0$ 。因此 $r=2$ 或 $-1$ ，由正值条件得 $r=2$ 。

因此正确答案是 E。

Let $r=\frac{x}{y}\gt0.$ From $\frac{x+y}{z}=r,$ we get $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}.$ Then $\frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r.$ Thus $r^2-r-1=1,$ or $r^2-r-2=0.$ Hence $r=2$ or $-1,$ and positivity gives $r=2.$

Thus the correct answer is E.

17.

将从 $19$ 到 $92$ 的两位整数依次写在一起，形成大整数 $N=19202122\ldots909192\text{。}$ 若 $3^k$ 是 $3$ 的幂中能整除 $N$ 的最高次者，则 $k=$

The two-digit integers from $19$ to $92$ are written consecutively to form the large integer $N=19202122\ldots909192.$ If $3^k$ is the highest power of $3$ that is a factor of $N,$ then $k=$

$0$

$1$

$2$

$3$

大于 $3$

more than $3$

知识点：divisibility by 3 and 9 digit sum arithmetic series

难度评级：1830

小提示：

使用被 $3$ 和 $9$ 整除的数字和判别法

Use the digit-sum tests for divisibility by $3$ and $9$

大提示：

模 $9$ 时，这个拼接整数的数字和等同于 $19+20+\cdots+92$

Modulo $9,$ the digit sum of the concatenation equals $19+20+\cdots+92$

解答：

模 $9$ 时，一个数与其各位数字之和同余，所以 $\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $N$ 能被 $3$ 整除但不能被 $9$ 整除，所以整除它的最高次 $3$ 的幂是 $3^1$ 。

因此正确答案是 B。

Modulo $9,$ a number is congruent to its digit sum, so $\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9. \end{aligned}$ Thus $N$ is divisible by $3$ but not by $9,$ so the highest power of $3$ dividing it is $3^1.$

Thus the correct answer is B.

18.

递增正整数数列 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 对每个 $n\ge1$ 都满足 $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\text{。}$ 若 $a_7=120$ ，则 $a_8$ 为

The increasing sequence of positive integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ has the property that, for every $n\ge1,$ $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}.$ If $a_7=120,$ then $a_8$ is

$128$

$168$

$193$

$194$

$210$

知识点：Fibonacci recurrence Diophantine equation increasing sequence

难度评级：1960

小提示：

写出 $a_7$ 和 $a_8$ 关于 $a_1$ 与 $a_2$ 的表达式

Write $a_7$ and $a_8$ in terms of $a_1$ and $a_2$

大提示：

从 $5a_1+8a_2=120$ 出发，使用同余关系和 $a_2\gt a_1\gt0$

From $5a_1+8a_2=120,$ use congruences and $a_2\gt a_1\gt0$

解答：

令 $a_1=a$ 、 $a_2=b$ 。反复使用递推关系可得 $\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b \end{aligned}\text{。}$ 对第一个方程模 $5$ ，可知 $b$ 是 $5$ 的倍数。正数取值只有 $b=5$ 、 $b=10$ 或 $b=15$ 。条件 $b\gt a\gt0$ 使得只有 $b=10$ 和 $a=8$ 可行。因此 $a_8=8(8)+13(10)=194$ 。

因此正确答案是 D。

Let $a_1=a$ and $a_2=b.$ Repeated use of the recurrence gives $\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b. \end{aligned}$ Modulo $5,$ the first equation shows that $b$ is a multiple of $5.$ The positive possibilities are $b=5,$ $b=10,$ or $b=15.$ The conditions $b\gt a\gt0$ leave only $b=10$ and $a=8.$ Hence $a_8=8(8)+13(10)=194.$

Thus the correct answer is D.

19.

对一个实心正方体的每个顶点，取由该顶点和与它相接的三条棱的中点所确定的四面体。切去这八个四面体后，正方体剩余的部分称为截半立方体。截半立方体与原正方体的体积之比最接近下列哪一项？

For each vertex of a solid cube, consider the tetrahedron determined by the vertex and the midpoints of the three edges that meet at that vertex. The portion of the cube that remains when these eight tetrahedra are cut away is called a cuboctahedron. The ratio of the volume of the cuboctahedron to the volume of the original cube is closest to which of these?

$75\%$

$78\%$

$81\%$

$84\%$

$87\%$

知识点：solid geometry tetrahedron volume volume ratio

难度评级：1960

小提示：

为正方体选取一个便于计算的边长，再求一个被切去的角四面体的体积

Choose a convenient side length for the cube and compute one removed corner tetrahedron

大提示：

每个被切去的四面体都有三条两两垂直的棱，其长度等于正方体边长的一半

Each removed tetrahedron has three mutually perpendicular edges equal to half the cube’s side

解答：

取正方体边长为 $2$ ，则其体积为 $8$ 。每个角四面体有三条长度为 $1$ 且两两垂直的棱，所以体积为 $\frac16$ 。八个被切去的四面体总体积为 $\frac43$ ，剩余体积为 $\frac{20}{3}$ 。所求比值为 $\frac{\frac{20}{3}}{8}=\frac56=83\tfrac13\%\text{，}$ 最接近 $84\%$ 。

因此正确答案是 D。

Take the cube’s side length to be $2.$ Its volume is $8.$ Each corner tetrahedron has three perpendicular edges of length $1,$ so its volume is $\frac16.$ The eight removed tetrahedra have total volume $\frac43,$ leaving $\frac{20}{3}.$ The ratio is $\frac{\frac{20}{3}}{8}=\frac56=83\tfrac13\%,$ which is closest to $84\%.$

Thus the correct answer is D.

20.

图中显示了一个“ $n$ 角正星形”的一部分。它是一个简单闭合多边形，其中 $2n$ 条边全等，角 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $\ldots$ 、 $A_n$ 全等，角 $B_1$ 、 $B_2$ 、 $\ldots$ 、 $B_n$ 也全等。若 $A_1$ 处的锐角比 $B_1$ 处的锐角小 $10^\circ$ ，则 $n=$

Part of an “ $n$ -pointed regular star” is shown. It is a simple closed polygon in which all $2n$ edges are congruent, angles $A_1,$ $A_2,$ $\ldots,$ $A_n$ are congruent, and angles $B_1,$ $B_2,$ $\ldots,$ $B_n$ are congruent. If the acute angle at $A_1$ is $10^\circ$ less than the acute angle at $B_1,$ then $n=$

$12$

$18$

$24$

$36$

$60$

知识点：polygon angle sum concave polygon regular star

难度评级：2110

小提示：

设 $A$ 类顶点和 $B$ 类顶点处的锐角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$

Let the acute angles at the $A$ - and $B$ -vertices be $\alpha$ and $\beta$

大提示：

在每个向内凹的 $B$ 类顶点处，多边形的内角为 $360^\circ-\beta$

At each inward $B$ -vertex, the polygon’s interior angle is $360^\circ-\beta$

解答：

设尖角与凹口处的锐角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，则 $\beta-\alpha=10^\circ$ 。这个 $2n$ 边形有 $n$ 个内角 $\alpha$ 和 $n$ 个优角 $360^\circ-\beta$ 。因此 $\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ \end{gathered}\text{。}$ 代入 $\beta-\alpha=10^\circ$ ，得到 $350n=360n-360$ ，所以 $n=36$ 。

因此正确答案是 D。

Let the acute angles at the tips and notches be $\alpha$ and $\beta,$ respectively, so $\beta-\alpha=10^\circ.$ The $2n$ -gon has $n$ interior angles $\alpha$ and $n$ reflex interior angles $360^\circ-\beta.$ Therefore $\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ. \end{gathered}$ Substituting $\beta-\alpha=10^\circ$ gives $350n=360n-360,$ so $n=36.$

Thus the correct answer is D.

21.

对有限数列 $A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ ，定义 $A$ 的切萨罗和为 $\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n}\text{，}$ 其中 $\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n) \end{aligned}\text{。}$ 若 $99$ 项数列 $(a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ 的切萨罗和为 $1000$ ，则 $100$ 项数列 $(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ 的切萨罗和是多少？

For a finite sequence $A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ of numbers, the Cesàro sum of $A$ is defined to be $\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n},$ where $\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n). \end{aligned}$ If the Cesàro sum of the $99$ -term sequence $(a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ is $1000,$ what is the Cesàro sum of the $100$ -term sequence $(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})?$

$991$

$999$

$1000$

$1001$

$1009$

知识点：partial sums sequence transformation weighted average

难度评级：2000

小提示：

根据第一个切萨罗和求出 $S_1+\cdots+S_{99}$ 的值

Convert the first Cesàro sum into the value of $S_1+\cdots+S_{99}$

大提示：

每个新的部分和都等于一个原部分和加 $1$ ，并且最初还有一个等于 $1$ 的部分和

Each new partial sum is $1$ plus an old partial sum, with one initial partial sum equal to $1$

解答：

已知条件表明 $S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000$ 。新数列的部分和依次为 $1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}$ 。它们的和为 $100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100\text{。}$ 除以 $100$ ，得到新的切萨罗和 $991$ 。

因此正确答案是 A。

The given condition says $S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000.$ For the new sequence, the partial sums are $1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}.$ Their sum is $100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100.$ Dividing by $100$ gives the new Cesàro sum $991.$

Thus the correct answer is A.

22.

在 $x$ 轴正半轴 $\mathrm{X}^+$ 上选取十个点，在 $y$ 轴正半轴 $\mathrm{Y}^+$ 上选取五个点。连接 $\mathrm{X}^+$ 上每个选定点与 $\mathrm{Y}^+$ 上每个选定点，共画出五十条线段。位于第一象限内部的这些线段交点数最多可能是多少？

Ten points are selected on the positive $x$ -axis, $\mathrm{X}^+,$ and five points are selected on the positive $y$ -axis, $\mathrm{Y}^+.$ The fifty segments connecting the ten selected points on $\mathrm{X}^+$ to the five selected points on $\mathrm{Y}^+$ are drawn. What is the maximum possible number of points of intersection of these fifty segments that could lie in the interior of the first quadrant?

$250$

$450$

$500$

$1250$

$2500$

知识点：combinatorial geometry intersections binomial coefficient

难度评级：2110

小提示：

一个内部交点由每条坐标轴上各选两个点确定

An interior crossing is determined by choosing two points from each axis

大提示：

对每条坐标轴上选定的两个点，四条连接线段中恰有一对相交

For each selected pair on each axis, exactly one pair of the four connecting segments crosses

解答：

从这 $10$ 个 $x$ 轴上的点中选两个，再从这 $5$ 个 $y$ 轴上的点中选两个。在四条连接线段中，端点次序相反的两条恰好相交一次。可以选取这些点，使得没有三条线段在同一个内部点相交，因此最大值为 $\binom{10}{2}\binom{5}{2}=45\cdot10=450\text{。}$

因此正确答案是 B。

Choose two of the $10$ points on the $x$ -axis and two of the $5$ points on the $y$ -axis. Among the four connecting segments, the two with reversed endpoint order cross exactly once. The points can be chosen so no three segments meet at one interior point, so the maximum is $\binom{10}{2}\binom{5}{2}=45\cdot10=450.$

Thus the correct answer is B.

23.

若 $S$ 是 $\{1,2,3,\ldots,50\}$ 的子集，且 $S$ 中任意两个不同元素之和都不能被 $7$ 整除，则这样的子集最多能有多少个元素？

What is the size of the largest subset $S$ of $\{1,2,3,\ldots,50\}$ such that no pair of distinct elements of $S$ has a sum divisible by $7?$

$6$

$7$

$14$

$22$

$23$

知识点：模运算 residue classes extremal set

难度评级：2170

小提示：

按模 $7$ 的余数将这些整数分组

Group the integers by their residues modulo $7$

大提示：

将余数类 $1$ 与 $6$ 、 $2$ 与 $5$ 、 $3$ 与 $4$ 分别配对，并单独处理余数类 $0$

Pair residue classes $1$ with $6,$ $2$ with $5,$ and $3$ with $4$ ; treat residue $0$ separately

解答：

余数类 $1,2,\ldots,6,0$ 分别含有 $8,7,7,7,7,7,7$ 个数。在每对互补余数类 $(1,6),(2,5),(3,4)$ 中，我们至多能从一个余数类取数，并且至多取一个 $7$ 的倍数。因此 $\begin{aligned} |S|&\le\max(8,7)+\max(7,7)\\ &\qquad+\max(7,7)+1=23 \end{aligned}\text{。}$ 取所有模 $7$ 余 $1$ 、 $2$ 或 $3$ 的数，再加上一个 $7$ 的倍数，便能达到 $23$ 个。

因此正确答案是 E。

The residue classes $1,2,\ldots,6,0$ contain $8,7,7,7,7,7,7$ numbers, respectively. We may take numbers from at most one class in each complementary pair $(1,6),(2,5),(3,4),$ and at most one multiple of $7.$ Thus $\begin{aligned} |S|&\le\max(8,7)+\max(7,7)\\ &\qquad+\max(7,7)+1=23. \end{aligned}$ Taking every number whose residue modulo $7$ is $1,$ $2,$ or $3,$ together with one multiple of $7,$ attains $23.$

Thus the correct answer is E.

24.

设 $ABCD$ 是面积为 $10$ 的平行四边形，其中 $AB=3$ 、 $BC=5$ 。点 $E$ 、 $F$ 和 $G$ 分别位于线段 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 和 $\overline{AD}$ 上，并且 $AE=BF=AG=2$ 。过 $G$ 作平行于 $\overline{EF}$ 的直线，与 $\overline{CD}$ 交于 $H$ 。四边形 $EFHG$ 的面积为

Let $ABCD$ be a parallelogram of area $10$ with $AB=3$ and $BC=5.$ Locate $E,$ $F,$ and $G$ on segments $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{AD},$ respectively, with $AE=BF=AG=2.$ Let the line through $G$ parallel to $\overline{EF}$ intersect $\overline{CD}$ at $H.$ The area of the quadrilateral $EFHG$ is

$4$

$4.5$

$5$

$5.5$

$6$

知识点：平行四边形 affine coordinates polygon area

难度评级：2040

小提示：

以 $AB$ 和 $AD$ 为仿射坐标基

Use $AB$ and $AD$ as an affine coordinate basis

大提示：

在该坐标基下， $E=(\frac{2}{3},0)$ 、 $F=(1,\frac{2}{5})$ ，且 $G=(0,\frac{2}{5})$ ；利用平行条件确定 $H$

In that basis, $E=(\frac{2}{3},0),$ $F=(1,\frac{2}{5}),$ and $G=(0,\frac{2}{5})$ ; use the parallel condition to locate $H$

解答：

以 $AB$ 和 $AD$ 为基向量，则 $\begin{aligned} E&=\left(\frac23,0\right),\\ F&=\left(1,\frac25\right),\\ G&=\left(0,\frac25\right) \end{aligned}\text{。}$ 过 $G$ 且平行于 $EF$ 的直线与 $CD$ 交于 $H=(\frac{1}{2},1)$ 。用鞋带公式可得 $EFHG$ 在该坐标系中的面积为 $\frac{1}{2}$ 。仿射坐标中的面积应乘以 $ABCD$ 的面积 $10$ ，所以 $[EFHG]=\frac12\cdot10=5$ 。

因此正确答案是 C。

Use $AB$ and $AD$ as basis vectors. Then $\begin{aligned} E&=\left(\frac23,0\right),\\ F&=\left(1,\frac25\right),\\ G&=\left(0,\frac25\right). \end{aligned}$ A line from $G$ parallel to $EF$ meets $CD$ at $H=(\frac{1}{2},1).$ The shoelace formula gives the coordinate area of $EFHG$ as $\frac{1}{2}.$ Affine coordinates scale all areas by the area $10$ of $ABCD,$ so $[EFHG]=\frac12\cdot10=5.$

Thus the correct answer is C.

25.

在三角形 $ABC$ 中， $\angle ABC=120^\circ$ 、 $AB=3$ ，且 $BC=4$ 。过 $A$ 作 $\overline{AB}$ 的垂线，过 $C$ 作 $\overline{BC}$ 的垂线，两条垂线交于 $D$ ，则 $CD=$

In triangle $ABC,$ $\angle ABC=120^\circ,$ $AB=3,$ and $BC=4.$ If perpendiculars constructed to $\overline{AB}$ at $A$ and to $\overline{BC}$ at $C$ meet at $D,$ then $CD=$

$3$

$\frac8{\sqrt3}$

$5$

$\frac{11}{2}$

$\frac{10}{\sqrt3}$

知识点：坐标几何 perpendicular lines distance

难度评级：2110

小提示：

取 $B=(0,0)$ 、 $A=(3,0)$

Place $B=(0,0)$ and $A=(3,0)$

大提示：

利用 $120^\circ$ 角确定 $C$ 的位置，再参数化过 $C$ 且垂直于 $BC$ 的直线

Use the $120^\circ$ angle to locate $C,$ then parametrize the line through $C$ perpendicular to $BC$

解答：

取 $B=(0,0)$ 、 $A=(3,0)$ ，则 $\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3) \end{aligned}\text{。}$ 过 $A$ 且垂直于 $AB$ 的直线为 $x=3$ 。与 $BC=(-2,2\sqrt3)$ 垂直的一个向量是 $(\sqrt3,1)$ ，所以另一条垂线为 $C+t(\sqrt3,1)$ 。当 $t=\frac{5}{\sqrt3}$ 时，其 $x$ 坐标为 $3$ 。由于 $|(\sqrt3,1)|=2$ ，可得 $CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}\text{。}$

因此正确答案是 E。

Set $B=(0,0)$ and $A=(3,0).$ Then $\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3). \end{aligned}$ The perpendicular to $AB$ at $A$ is $x=3.$ A vector perpendicular to $BC=(-2,2\sqrt3)$ is $(\sqrt3,1),$ so the other perpendicular is $C+t(\sqrt3,1).$ Its $x$ -coordinate is $3$ when $t=\frac{5}{\sqrt3}.$ Since $|(\sqrt3,1)|=2,$ $CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}.$

Thus the correct answer is E.

26.

半圆弧 $\overset{\frown}{AB}$ 的圆心为 $C$ ，半径为 $1$ 。点 $D$ 在 $\overset{\frown}{AB}$ 上，且 $CD\perp AB$ 。分别延长 $\overline{BD}$ 和 $\overline{AD}$ 至 $E$ 和 $F$ ，使圆弧 $\overset{\frown}{AE}$ 和 $\overset{\frown}{BF}$ 的圆心分别为 $B$ 和 $A$ 。圆弧 $\overset{\frown}{EF}$ 的圆心为 $D$ 。阴影“笑脸”区域 $AEFBDA$ 的面积为

Semicircle $\overset{\frown}{AB}$ has center $C$ and radius $1.$ Point $D$ is on $\overset{\frown}{AB}$ and $CD\perp AB.$ Extend $\overline{BD}$ and $\overline{AD}$ to $E$ and $F,$ respectively, so that circular arcs $\overset{\frown}{AE}$ and $\overset{\frown}{BF}$ have $B$ and $A$ as their respective centers. Circular arc $\overset{\frown}{EF}$ has center $D.$ The area of the shaded “smile,” $AEFBDA,$ is

$(2-\sqrt2)\pi$

$2\pi-\pi\sqrt2-1$

$\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\pi$

$\frac{5\pi}{2}-\pi\sqrt2-1$

$(3-2\sqrt2)\pi$

知识点：sector area semicircle isosceles right triangle composite region

难度评级：2260

小提示：

利用 $AC=BC=CD=1$ 找出两个等腰直角三角形，并确定相关半径

Use $AC=BC=CD=1$ to identify two isosceles right triangles and determine the relevant radii

大提示：

将笑脸区域表示为一个 $90^\circ$ 扇形加两个 $45^\circ$ 扇形，再减去三角形 $ABD$ 和半圆 $ADB$

Express the smile as one $90^\circ$ sector plus two $45^\circ$ sectors, then subtract triangle $ABD$ and semicircle $ADB$

解答：

三角形 $ACD$ 和 $BCD$ 都是等腰直角三角形，所以 $AD=BD=\sqrt2$ 、 $\angle ADB=90^\circ$ ，且 $DE=DF=2-\sqrt2$ 。笑脸区域等于 $90^\circ$ 扇形 $EDF$ 加上全等的两个 $45^\circ$ 扇形 $ABE$ 和 $BAF$ ，再减去三角形 $ABD$ 与原半圆。其面积为 $\begin{aligned} &\frac14\pi(2-\sqrt2)^2 +2\left(\frac18\pi\cdot2^2\right)\\ &\qquad-\frac12(2)(1)-\frac12\pi\\ &=2\pi-\pi\sqrt2-1 \end{aligned}\text{。}$

因此正确答案是 B。

Triangles $ACD$ and $BCD$ are isosceles right triangles, so $AD=BD=\sqrt2,$ $\angle ADB=90^\circ,$ and $DE=DF=2-\sqrt2.$ The smile is the $90^\circ$ sector $EDF,$ plus the congruent $45^\circ$ sectors $ABE$ and $BAF,$ minus triangle $ABD$ and the original semicircle. Its area is $\begin{aligned} &\frac14\pi(2-\sqrt2)^2 +2\left(\frac18\pi\cdot2^2\right)\\ &\qquad-\frac12(2)(1)-\frac12\pi\\ &=2\pi-\pi\sqrt2-1. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

27.

一个半径为 $r$ 的圆有长为 $10$ 的弦 $\overline{AB}$ 和长为 $7$ 的弦 $\overline{CD}$ 。分别沿经过 $B$ 和 $C$ 的方向延长 $\overline{AB}$ 与 $\overline{CD}$ ，它们在圆外的点 $P$ 相交。若 $\angle APD=60^\circ$ 且 $BP=8$ ，则 $r^2=$

A circle of radius $r$ has chords $\overline{AB}$ of length $10$ and $\overline{CD}$ of length $7.$ When $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are extended through $B$ and $C,$ respectively, they intersect at $P,$ which is outside the circle. If $\angle APD=60^\circ$ and $BP=8,$ then $r^2=$

$70$

$71$

$72$

$73$

$74$

知识点：圆幂 secants 直角三角形 circle diameter

难度评级：2330

小提示：

使用割线定理求 $PC$ 和 $PD$

Apply the secant-secant theorem to find $PC$ and $PD$

大提示：

得到 $PA=18$ 、 $PC=9$ 和 $\angle APC=60^\circ$ 后，找出一个 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形

Once $PA=18,$ $PC=9,$ and $\angle APC=60^\circ,$ identify a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle

解答：

由点 $P$ 的幂可得 $PA\cdot PB=PC\cdot PD\text{。}$ 这里 $PA=18$ 、 $PB=8$ ，且 $PD=PC+7$ ，所以 $PC(PC+7)=144$ 。因此 $PC=9$ 、 $PD=16$ 。由于 $PA=2PC$ 且 $\angle APC=60^\circ$ ，三角形 $APC$ 在 $C$ 处为直角，并且 $AC=9\sqrt3$ 。所以 $AD$ 是直径，且 $\begin{aligned} (2r)^2&=AD^2=AC^2+CD^2\\ &=243+49=292 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $r^2=73$ 。

因此正确答案是 D。

Power of $P$ gives $PA\cdot PB=PC\cdot PD.$ Here $PA=18,$ $PB=8,$ and $PD=PC+7,$ so $PC(PC+7)=144.$ Thus $PC=9$ and $PD=16.$ Since $PA=2PC$ and $\angle APC=60^\circ,$ triangle $APC$ is right at $C,$ with $AC=9\sqrt3.$ Therefore $AD$ is a diameter, and $\begin{aligned} (2r)^2&=AD^2=AC^2+CD^2\\ &=243+49=292. \end{aligned}$ Hence $r^2=73.$

Thus the correct answer is D.

28.

令 $i=\sqrt{-1}$ 。方程 $z^2-z=5-5i$ 的两个根的实部之积为

Let $i=\sqrt{-1}.$ The product of the real parts of the roots of $z^2-z=5-5i$ is

$-25$

$-6$

$-5$

$\frac14$

$25$

知识点：complex quadratic square root of a complex number Vieta

难度评级：2310

小提示：

使用求根公式，并令 $\sqrt{21-20i}=a+bi$

Apply the quadratic formula and write $\sqrt{21-20i}=a+bi$

大提示：

解 $a^2-b^2=21$ 与 $2ab=-20$ ，从而确定两个根的实部

Solve $a^2-b^2=21$ and $2ab=-20$ to determine the real parts of the two roots

解答：

由求根公式得 $z=\frac{1\pm\sqrt{21-20i}}2\text{。}$ 因为 $(5-2i)^2=21-20i$ ，所以两个根为 $\begin{aligned} \frac{1+(5-2i)}2&=3-i,\\ \frac{1-(5-2i)}2&=-2+i \end{aligned}\text{。}$ 它们的实部之积为 $3(-2)=-6$ 。

因此正确答案是 B。

The quadratic formula gives $z=\frac{1\pm\sqrt{21-20i}}2.$ Since $(5-2i)^2=21-20i,$ the roots are $\begin{aligned} \frac{1+(5-2i)}2&=3-i,\\ \frac{1-(5-2i)}2&=-2+i. \end{aligned}$ Their real parts have product $3(-2)=-6.$

Thus the correct answer is B.

29.

一枚“不均匀”硬币出现正面的概率为 $\frac23$ 。若将这枚硬币抛掷 $50$ 次，正面出现总次数为偶数的概率是多少？

An “unfair” coin has a $\frac23$ probability of turning up heads. If this coin is tossed $50$ times, what is the probability that the total number of heads is even?

$2^5\left(\frac23\right)^{50}$

$\frac12\left(1-\frac1{3^{50}}\right)$

$\frac12$

$\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right)$

$\frac23$

知识点：binomial parity probability recurrence complementary states

难度评级：2310

小提示：

追踪正面次数为偶数与为奇数的概率之差

Track the difference between the probabilities of an even and an odd number of heads

大提示：

每抛掷一次，这个差会乘以 $P(T)-P(H)$

One toss multiplies that difference by $P(T)-P(H)$

解答：

设 $E_n$ 和 $O_n$ 分别为抛掷 $n$ 次后正面次数为偶数和奇数的概率。则 $E_n+O_n=1$ ，并且 $\begin{aligned} E_{n+1}-O_{n+1} &=\left(\frac13-\frac23\right)\\ &\qquad\cdot(E_n-O_n) \end{aligned}\text{。}$ 因为 $E_0-O_0=1$ ，所以 $E_{50}-O_{50}=(-\frac{1}{3})^{50}=3^{-50}$ 。联立和与差的方程，得到 $E_{50}=\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right)\text{。}$

因此正确答案是 D。

Let $E_n$ and $O_n$ be the probabilities of an even and odd number of heads after $n$ tosses. Then $E_n+O_n=1,$ while $\begin{aligned} E_{n+1}-O_{n+1} &=\left(\frac13-\frac23\right)\\ &\qquad\cdot(E_n-O_n). \end{aligned}$ Since $E_0-O_0=1,$ we have $E_{50}-O_{50}=(-\frac{1}{3})^{50}=3^{-50}.$ Solving the sum and difference equations gives $E_{50}=\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right).$

Thus the correct answer is D.

30.

设 $ABCD$ 是一个等腰梯形，两底为 $AB=92$ 和 $CD=19$ 。假设 $AD=BC=x$ ，且一个圆的圆心在 $\overline{AB}$ 上，并与线段 $\overline{AD}$ 和 $\overline{BC}$ 都相切。若 $m$ 是 $x$ 的最小可能值，则 $m^2=$

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid with bases $AB=92$ and $CD=19.$ Suppose $AD=BC=x$ and a circle with center on $\overline{AB}$ is tangent to segments $\overline{AD}$ and $\overline{BC}.$ If $m$ is the smallest possible value of $x,$ then $m^2=$

$1369$

$1679$

$1748$

$2109$

$8825$

知识点：isosceles trapezoid circle tangent to lines 最优化坐标几何

难度评级：2400

小提示：

利用对称性，使梯形两底的中点位于同一条竖直轴上，并将圆心放在 $AB$ 的中点

By symmetry, place the trapezoid with its bases centered on the same vertical axis and put the circle’s center at the midpoint of $AB$

大提示：

写出圆心到一条腰的距离，并要求切点在线段上；最小值出现在切点恰为端点的情形

Write the distance from the center to a leg and require the tangency point to lie on the leg segment; the minimum occurs at an endpoint case

解答：

取 $A=(-46,0)$ 、 $B=(46,0)$ 、 $D=(-\frac{19}{2},h)$ ，且 $C=(\frac{19}{2},h)$ 。由对称性，圆心必为 $O=(0,0)$ 。每条腰的水平位移为 $\frac{73}{2}$ ，所以 $x^2=h^2+\left(\frac{73}{2}\right)^2\text{。}$ 从 $O$ 向腰作垂线，当垂足到达上端点时，它才首次落在线段上；这个临界条件为 $OD\perp AD$ 。因此 $\begin{aligned} (-\frac{19}{2},h)\cdot(\frac{73}{2},h)&=0,\\ h^2&=\frac{1387}{4} \end{aligned}\text{。}$ 所以 $m^2=\frac{1387+5329}{4}=1679\text{。}$

因此正确答案是 B。

Place $A=(-46,0),$ $B=(46,0),$ $D=(-\frac{19}{2},h),$ and $C=(\frac{19}{2},h).$ Symmetry forces the circle’s center to be $O=(0,0).$ The horizontal offset along each leg is $\frac{73}{2},$ so $x^2=h^2+\left(\frac{73}{2}\right)^2.$ The perpendicular from $O$ to a leg first has its foot on the segment when the foot reaches the upper endpoint; this boundary condition is $OD\perp AD.$ Thus $\begin{aligned} (-\frac{19}{2},h)\cdot(\frac{73}{2},h)&=0,\\ h^2&=\frac{1387}{4}. \end{aligned}$ Therefore $m^2=\frac{1387+5329}{4}=1679.$

Thus the correct answer is B.