Soluciones del 2007 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La casa de Isabella tiene $3$ dormitorios. Cada dormitorio mide $12$ pies de largo, $10$ pies de ancho y $8$ pies de alto. Isabella debe pintar las paredes de todos los dormitorios. Las puertas y ventanas, que no se pintarán, ocupan $60$ pies cuadrados en cada dormitorio. ¿Cuántos pies cuadrados de pared debe pintar?

Isabella's house has $3$ bedrooms. Each bedroom is $12$ feet long, $10$ feet wide, and $8$ feet high. Isabella must paint the walls of all the bedrooms. Doorways and windows, which will not be painted, occupy $60$ square feet in each bedroom. How many square feet of walls must be painted?

$678$

$768$

$786$

$867$

$876$

Conceptos:perímetro área

Nivel de dificultad: 900

Solución:

El perímetro del suelo de cada dormitorio es $2(12+10)=44$ pies.

Así que el área de pared de un dormitorio es $44\cdot8-60=352-60=292$ pies cuadrados. En los tres dormitorios, Isabella pinta $3\cdot292=876$ pies cuadrados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The perimeter of each bedroom floor is $2(12+10)=44$ feet.

So the wall area in one bedroom is $44\cdot8-60=352-60=292$ square feet. Across all three bedrooms, Isabella paints $3\cdot292=876$ square feet.

Thus, the correct answer is E.

2.

Un estudiante universitario condujo su auto compacto $120$ millas hasta su casa para el fin de semana y promedió $30$ millas por galón. En el viaje de regreso condujo la camioneta SUV de sus padres y promedió solo $20$ millas por galón. ¿Cuál fue el consumo promedio de gasolina, en millas por galón, para el viaje de ida y vuelta?

A college student drove his compact car $120$ miles home for the weekend and averaged $30$ miles per gallon. On the return trip the student drove his parents' SUV and averaged only $20$ miles per gallon. What was the average gas mileage, in miles per gallon, for the round trip?

$22$

$24$

$25$

$26$

$28$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo media armónica

Nivel de dificultad: 990

Solución:

El viaje de ida usa $120/30=4$ galones, y el viaje de regreso usa $120/20=6$ galones.

El viaje de ida y vuelta recorre $240$ millas con $10$ galones, así que el promedio es $\dfrac{240}{10}=24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The trip home uses $120/30=4$ gallons, and the return trip uses $120/20=6$ gallons.

The round trip covers $240$ miles on $10$ gallons, so the average is $\dfrac{240}{10}=24.$

Thus, the correct answer is B.

3.

El punto $O$ es el centro de la circunferencia circunscrita al $\triangle ABC,$ con $\angle BOC=120^\circ$ y $\angle AOB=140^\circ,$ como se muestra. ¿Cuál es la medida en grados de $\angle ABC$ ?

The point $O$ is the center of the circle circumscribed about $\triangle ABC,$ with $\angle BOC=120^\circ$ and $\angle AOB=140^\circ,$ as shown. What is the degree measure of $\angle ABC?$

$35$

$40$

$45$

$50$

$60$

Conceptos:ángulo inscrito suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

Los ángulos alrededor de $O$ suman $360^\circ,$ así que $\begin{aligned} \angle AOC&=360^\circ-140^\circ-120^\circ \\ &=100^\circ. \end{aligned}$

Por el teorema del ángulo inscrito, $\angle ABC$ subtiende el mismo arco $AC$ que el ángulo central $\angle AOC,$ así que $\angle ABC=\tfrac12\angle AOC=50^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The angles around $O$ sum to $360^\circ,$ so $\begin{aligned} \angle AOC&=360^\circ-140^\circ-120^\circ \\ &=100^\circ. \end{aligned}$

By the inscribed angle theorem, $\angle ABC$ subtends the same arc $AC$ as the central angle $\angle AOC,$ so $\angle ABC=\tfrac12\angle AOC=50^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

4.

En el Mercado de Frutas de Frank, $3$ plátanos cuestan lo mismo que $2$ manzanas, y $6$ manzanas cuestan lo mismo que $4$ naranjas. ¿Cuántas naranjas cuestan lo mismo que $18$ plátanos?

At Frank's Fruit Market, $3$ bananas cost as much as $2$ apples, and $6$ apples cost as much as $4$ oranges. How many oranges cost as much as $18$ bananas?

$6$

$8$

$9$

$12$

$18$

Conceptos:razón y proporción conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1010

Solución:

Como $3$ plátanos cuestan lo mismo que $2$ manzanas, $18$ plátanos cuestan lo mismo que $12$ manzanas.

Como $6$ manzanas cuestan lo mismo que $4$ naranjas, $12$ manzanas cuestan lo mismo que $8$ naranjas. Por lo tanto, $18$ plátanos cuestan lo mismo que $8$ naranjas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $3$ bananas cost as much as $2$ apples, $18$ bananas cost as much as $12$ apples.

Since $6$ apples cost as much as $4$ oranges, $12$ apples cost as much as $8$ oranges. Therefore $18$ bananas cost as much as $8$ oranges.

Thus, the correct answer is B.

5.

Los concursos AMC 12 de 2007 se calificarán otorgando $6$ puntos por cada respuesta correcta, $0$ puntos por cada respuesta incorrecta y $1.5$ puntos por cada problema dejado sin responder. Tras revisar los $25$ problemas, Sarah ha decidido intentar los primeros $22$ y dejar los últimos $3$ sin responder. ¿Cuántos de los primeros $22$ problemas debe resolver correctamente para obtener al menos $100$ puntos?

The 2007 AMC 12 contests will be scored by awarding $6$ points for each correct response, $0$ points for each incorrect response, and $1.5$ points for each problem left unanswered. After looking over the $25$ problems, Sarah has decided to attempt the first $22$ and leave the last $3$ unanswered. How many of the first $22$ problems must she solve correctly in order to score at least $100$ points?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:desigualdad

Nivel de dificultad: 1120

Solución:

Los tres problemas sin responder dan $3\cdot1.5=4.5$ puntos.

Así que Sarah necesita al menos $100-4.5=95.5$ puntos de las respuestas correctas. Como $15\lt\dfrac{95.5}{6}\lt16,$ debe resolver correctamente al menos $16$ problemas, lo que le daría $16\cdot6+4.5=100.5$ puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The three unanswered problems give $3\cdot1.5=4.5$ points.

So Sarah needs at least $100-4.5=95.5$ points from correct answers. Since $15\lt\dfrac{95.5}{6}\lt16,$ she must solve at least $16$ problems correctly, which would give her $16\cdot6+4.5=100.5$ points.

Thus, the correct answer is D.

6.

El triángulo $ABC$ tiene lados de longitud $AB=5,$ $BC=6$ y $AC=7.$ Dos insectos parten simultáneamente desde $A$ y se arrastran a lo largo de los lados del triángulo en direcciones opuestas a la misma velocidad. Se encuentran en el punto $D.$ ¿Cuánto vale $BD$ ?

Triangle $ABC$ has side lengths $AB=5,$ $BC=6,$ and $AC=7.$ Two bugs start simultaneously from $A$ and crawl along the sides of the triangle in opposite directions at the same speed. They meet at point $D.$ What is $BD?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:velocidad relativa perímetro

Nivel de dificultad: 1080

Solución:

El perímetro es $5+6+7=18,$ así que cada insecto se arrastra $9$ antes de encontrarse.

El insecto que va $A\to B\to C$ llega a $D$ sobre el lado $BC,$ habiendo recorrido $AB+BD=9.$ Como $AB=5,$ obtenemos $BD=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The perimeter is $5+6+7=18,$ so each bug crawls $9$ before they meet.

The bug going $A\to B\to C$ reaches $D$ on side $BC,$ having traveled $AB+BD=9.$ Since $AB=5,$ we get $BD=4.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Todos los lados del pentágono convexo $ABCDE$ tienen la misma longitud, y $\angle A=\angle B=90^\circ.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle E$ ?

All sides of the convex pentagon $ABCDE$ are of equal length, and $\angle A=\angle B=90^\circ.$ What is the degree measure of $\angle E?$

$90$

$108$

$120$

$144$

$150$

Conceptos:triángulo equilátero cuadrado (geometría)suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1330

Solución:

Como $AB=BC=EA$ y $\angle A=\angle B=90^\circ,$ el cuadrilátero $ABCE$ es un cuadrado, así que $\angle AEC=90^\circ$ y $EC$ es igual a la longitud del lado común.

Entonces $CD=DE=EC,$ así que $\triangle CDE$ es equilátero y $\angle CED=60^\circ.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \angle E&=\angle AEC+\angle CED \\ &=90^\circ+60^\circ \\ &=150^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because $AB=BC=EA$ and $\angle A=\angle B=90^\circ,$ quadrilateral $ABCE$ is a square, so $\angle AEC=90^\circ$ and $EC$ equals the common side length.

Then $CD=DE=EC,$ so $\triangle CDE$ is equilateral and $\angle CED=60^\circ.$ Therefore $\begin{aligned} \angle E&=\angle AEC+\angle CED \\ &=90^\circ+60^\circ \\ &=150^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

8.

La edad de Tom es de $T$ años, que es también la suma de las edades de sus tres hijos. Su edad hace $N$ años era el doble de la suma de las edades de ellos en ese momento. ¿Cuánto vale $T/N$ ?

Tom's age is $T$ years, which is also the sum of the ages of his three children. His age $N$ years ago was twice the sum of their ages then. What is $T/N?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:edades ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1290

Solución:

La edad de Tom hace $N$ años era $T-N.$ Sus tres hijos eran cada uno $N$ años más jóvenes, así que sus edades entonces sumaban $T-3N.$

La condición da $T-N=2(T-3N),$ así que $5N=T$ y $T/N=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Tom's age $N$ years ago was $T-N.$ His three children were each $N$ years younger, so their ages then totaled $T-3N.$

The condition gives $T-N=2(T-3N),$ so $5N=T$ and $T/N=5.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Una función $f$ tiene la propiedad de que $f(3x-1)=x^2+x+1$ para todos los números reales $x.$ ¿Cuánto vale $f(5)$ ?

A function $f$ has the property that $f(3x-1)=x^2+x+1$ for all real numbers $x.$ What is $f(5)?$

$7$

$13$

$31$

$111$

$211$

Conceptos:función sustitución

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Al plantear $3x-1=5$ se obtiene $x=2.$

Entonces $f(5)=2^2+2+1=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Setting $3x-1=5$ gives $x=2.$

Then $f(5)=2^2+2+1=7.$

Thus, the correct answer is A.

10.

Unos niños y niñas están haciendo un lavado de autos para recaudar dinero para un viaje de clase a China. Inicialmente $40\%$ del grupo son niñas. Poco después dos niñas se van y dos niños llegan, y entonces $30\%$ del grupo son niñas. ¿Cuántas niñas había inicialmente en el grupo?

Some boys and girls are having a car wash to raise money for a class trip to China. Initially $40\%$ of the group are girls. Shortly thereafter two girls leave and two boys arrive, and then $30\%$ of the group are girls. How many girls were initially in the group?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Conceptos:porcentaje invariante

Nivel de dificultad: 1330

Solución:

Como dos niñas se van mientras dos niños llegan, el tamaño total del grupo no cambia. La caída del $40\%$ al $30\%$ de niñas corresponde a las dos niñas que se fueron.

Así que esas dos niñas son el $10\%$ del grupo, lo que significa que el grupo tiene $20$ personas. El número inicial de niñas era el $40\%$ de $20,$ es decir, $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since two girls leave while two boys arrive, the total group size is unchanged. The drop from $40\%$ to $30\%$ girls corresponds to the two girls who left.

So those two girls are $10\%$ of the group, meaning the group has $20$ people. The initial number of girls was $40\%$ of $20,$ or $8.$

Thus, the correct answer is C.

11.

Los ángulos del cuadrilátero $ABCD$ satisfacen $\angle A=2\angle B=3\angle C=4\angle D.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle A,$ redondeada al entero más cercano?

The angles of quadrilateral $ABCD$ satisfy $\angle A=2\angle B=3\angle C=4\angle D.$ What is the degree measure of $\angle A,$ rounded to the nearest whole number?

$125$

$144$

$153$

$173$

$180$

Conceptos:suma de ángulos razón y proporción

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Sea $x=\angle A.$ Entonces $\angle B=\tfrac x2,$ $\angle C=\tfrac x3$ y $\angle D=\tfrac x4.$

La suma de los ángulos da $x+\dfrac x2+\dfrac x3+\dfrac x4=\dfrac{25x}{12}=360,$ así que $x=\dfrac{12\cdot360}{25}=172.8\approx173.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $x=\angle A.$ Then $\angle B=\tfrac x2,$ $\angle C=\tfrac x3,$ and $\angle D=\tfrac x4.$

The angle sum gives $x+\dfrac x2+\dfrac x3+\dfrac x4=\dfrac{25x}{12}=360,$ so $x=\dfrac{12\cdot360}{25}=172.8\approx173.$

Thus, the correct answer is D.

12.

Un profesor dio una prueba a una clase en la que $10\%$ de los estudiantes son de tercer año y $90\%$ son de cuarto año. La puntuación promedio en la prueba fue $84.$ Los de tercer año obtuvieron todos la misma puntuación, y la puntuación promedio de los de cuarto año fue $83.$ ¿Qué puntuación obtuvo cada uno de los de tercer año en la prueba?

A teacher gave a test to a class in which $10\%$ of the students are juniors and $90\%$ are seniors. The average score on the test was $84.$ The juniors all received the same score, and the average score of the seniors was $83.$ What score did each of the juniors receive on the test?

$85$

$88$

$93$

$94$

$98$

Conceptos:media porcentaje

Nivel de dificultad: 1330

Solución:

Toma una clase de $10$ estudiantes, así que hay $1$ de tercer año y $9$ de cuarto año.

El total de todas las puntuaciones es $10\cdot84=840,$ y los de cuarto año aportan $9\cdot83=747.$ Así que el de tercer año obtuvo $840-747=93.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take a class of $10$ students, so there is $1$ junior and $9$ seniors.

The total of all scores is $10\cdot84=840,$ and the seniors contribute $9\cdot83=747.$ So the junior scored $840-747=93.$

Thus, the correct answer is C.

13.

Un semáforo recorre repetidamente el siguiente ciclo: verde durante $30$ segundos, luego amarillo durante $3$ segundos y luego rojo durante $30$ segundos. Leah elige un intervalo de tiempo aleatorio de tres segundos para observar el semáforo. ¿Cuál es la probabilidad de que el color cambie mientras ella está observando?

A traffic light runs repeatedly through the following cycle: green for $30$ seconds, then yellow for $3$ seconds, and then red for $30$ seconds. Leah picks a random three-second time interval to watch the light. What is the probability that the color changes while she is watching?

$\dfrac{1}{63}$

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{3}$

Conceptos:probabilidad geométrica

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

La longitud del ciclo es $30+3+30=63$ segundos, con tres cambios de color por ciclo.

Leah ve un cambio exactamente cuando su intervalo de tres segundos comienza dentro de los $3$ segundos previos a un cambio. Eso da $3\cdot3=9$ segundos favorables de $63,$ una probabilidad de $\dfrac{9}{63}=\dfrac17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The cycle length is $30+3+30=63$ seconds, with three color changes per cycle.

Leah sees a change exactly when her three-second interval starts within the $3$ seconds before a switch. That gives $3\cdot3=9$ favorable seconds out of $63,$ a probability of $\dfrac{9}{63}=\dfrac17.$

Thus, the correct answer is D.

14.

El punto $P$ está dentro del $\triangle ABC$ equilátero. Los puntos $Q,$ $R$ y $S$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $\overline{AB},$ $\overline{BC}$ y $\overline{CA},$ respectivamente. Dado que $PQ=1,$ $PR=2$ y $PS=3,$ ¿cuánto vale $AB$ ?

Point $P$ is inside equilateral $\triangle ABC.$ Points $Q,$ $R,$ and $S$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{CA},$ respectively. Given that $PQ=1,$ $PR=2,$ and $PS=3,$ what is $AB?$

$4$

$3\sqrt{3}$

$6$

$4\sqrt{3}$

$9$

Conceptos:descomposición de áreas triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 1680

Solución:

Sea $s=AB.$ Unir $P$ con los vértices divide el triángulo en $\triangle PAB,$ $\triangle PBC$ y $\triangle PCA,$ con áreas $\tfrac{s}{2},$ $s$ y $\tfrac{3s}{2}.$

Su total es $3s,$ que debe ser igual al área $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$ del triángulo equilátero. Así que $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2,$ lo que da $s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $s=AB.$ Joining $P$ to the vertices splits the triangle into $\triangle PAB,$ $\triangle PBC,$ and $\triangle PCA,$ with areas $\tfrac{s}{2},$ $s,$ and $\tfrac{3s}{2}.$

Their total is $3s,$ which must equal the area $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$ of the equilateral triangle. So $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2,$ giving $s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

15.

La serie geométrica $a+ar+ar^2+\cdots$ tiene una suma de $7,$ y los términos que involucran potencias impares de $r$ tienen una suma de $3.$ ¿Cuánto vale $a+r$ ?

The geometric series $a+ar+ar^2+\cdots$ has a sum of $7,$ and the terms involving odd powers of $r$ have a sum of $3.$ What is $a+r?$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{7}{3}$

$\dfrac{5}{2}$

Conceptos:sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Los términos de potencia impar son $ar+ar^3+\cdots$ $=r(a+ar^2+\cdots),$ es decir, $r$ veces los términos de potencia par. Los términos de potencia par suman $7-3=4.$

Así que $3=4r,$ lo que da $r=\tfrac34.$ Entonces $a=7(1-r)=\tfrac74,$ y $a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The odd-power terms are $ar+ar^3+\cdots$ $=r(a+ar^2+\cdots),$ that is, $r$ times the even-power terms. The even-power terms sum to $7-3=4.$

So $3=4r,$ giving $r=\tfrac34.$ Then $a=7(1-r)=\tfrac74,$ and $a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52.$

Thus, the correct answer is E.

16.

Cada cara de un tetraedro regular se pinta de rojo, blanco o azul. Dos coloraciones se consideran indistinguibles si dos tetraedros congruentes con esas coloraciones pueden rotarse de modo que sus apariencias sean idénticas. ¿Cuántas coloraciones distinguibles son posibles?

Each face of a regular tetrahedron is painted either red, white, or blue. Two colorings are considered indistinguishable if two congruent tetrahedra with those colorings can be rotated so that their appearances are identical. How many distinguishable colorings are possible?

$15$

$18$

$27$

$54$

$81$

Conceptos:Lema de Burnside simetría

Nivel de dificultad: 2000

Solución:

El grupo de rotaciones del tetraedro tiene $12$ elementos: la identidad, $8$ rotaciones de orden $3$ alrededor de un eje vértice-cara y $3$ rotaciones de orden $2$ alrededor de un eje punto-medio-de-arista.

La identidad fija las $3^4=81$ coloraciones. Cada rotación de vértice fija una cara y hace ciclar las otras tres, así que fija $3^2=9$ coloraciones; de igual modo cada rotación de arista intercambia dos pares de caras y fija $3^2=9.$

Por el lema de Burnside, el número de coloraciones distinguibles es $\dfrac{81+8\cdot9+3\cdot9}{12}=\dfrac{180}{12}=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The rotation group of the tetrahedron has $12$ elements: the identity, $8$ rotations of order $3$ about a vertex-face axis, and $3$ rotations of order $2$ about an edge-midpoint axis.

The identity fixes all $3^4=81$ colorings. Each vertex rotation fixes one face and cycles the other three, so it fixes $3^2=9$ colorings; likewise each edge rotation swaps two pairs of faces and fixes $3^2=9.$

By Burnside's lemma the number of distinguishable colorings is $\dfrac{81+8\cdot9+3\cdot9}{12}=\dfrac{180}{12}=15.$

Thus, the correct answer is A.

17.

Si $a$ es un entero distinto de cero y $b$ es un número positivo tal que $ab^2=\log_{10}b,$ ¿cuál es la mediana del conjunto $\{0,1,a,b,1/b\}$ ?

If $a$ is a nonzero integer and $b$ is a positive number such that $ab^2=\log_{10}b,$ what is the median of the set $\{0,1,a,b,1/b\}?$

$0$

$1$

$a$

$b$

$\dfrac{1}{b}$

Conceptos:logaritmo desigualdad mediana (datos)

Nivel de dificultad: 2060

Solución:

Para $b\gt0$ , tenemos $b\lt10^b$ , y por tanto $\log_{10}b\lt b$ . Si $b=1$ , entonces $a=0$ . Si $b\gt1$ , entonces $0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1$ , así que $a$ no podría ser un entero.

Por tanto $0\lt b\lt1,$ así que $\log_{10}b\lt0$ y $a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0.$ Así $a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b,$ y el valor central del conjunto ordenado es $b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $b\gt0$ , we have $b\lt10^b$ , hence $\log_{10}b\lt b$ . If $b=1$ , then $a=0$ . If $b\gt1$ , then $0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1$ , so $a$ could not be an integer.

Hence $0\lt b\lt1,$ so $\log_{10}b\lt0$ and $a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0.$ Thus $a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b,$ and the middle value of the sorted set is $b.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Sean $a,$ $b$ y $c$ dígitos con $a\ne0.$ El entero de tres dígitos $\overline{abc}$ se encuentra a un tercio del camino desde el cuadrado de un entero positivo hasta el cuadrado del siguiente entero mayor. El entero $\overline{acb}$ se encuentra a dos tercios del camino entre los mismos dos cuadrados. ¿Cuánto vale $a+b+c$ ?

Let $a,$ $b,$ and $c$ be digits with $a\ne0.$ The three-digit integer $\overline{abc}$ lies one third of the way from the square of a positive integer to the square of the next larger integer. The integer $\overline{acb}$ lies two thirds of the way between the same two squares. What is $a+b+c?$

$10$

$13$

$16$

$18$

$21$

Conceptos:cuadrado perfecto valor posicional divisibilidad

Nivel de dificultad: 1930

Solución:

Sea el cuadrado menor $N^2,$ de modo que el mayor es $(N+1)^2$ y la separación es $2N+1.$ Entonces $\overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3},$ $\overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}.$

Restando, $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)$ $=\dfrac{2N+1}{3},$ así que $27(c-b)=2N+1.$ Si $c-b=0$ o $2,$ entonces $N$ no es entero; si $c-b\ge3,$ entonces $N\ge40$ y los números no tienen tres dígitos.

Así que $c-b=1,$ lo que da $N=13.$ Los puntos a un tercio y a dos tercios del camino desde $13^2=169$ hasta $14^2=196$ son $178$ y $187,$ así que $a+b+c=1+7+8=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the smaller square be $N^2,$ so the larger is $(N+1)^2$ and the gap is $2N+1.$ Then $\overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3},$ $\overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}.$

Subtracting, $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)$ $=\dfrac{2N+1}{3},$ so $27(c-b)=2N+1.$ If $c-b=0$ or $2,$ then $N$ is not an integer; if $c-b\ge3,$ then $N\ge40$ and the numbers are not three digits.

So $c-b=1,$ giving $N=13.$ The points one third and two thirds of the way from $13^2=169$ to $14^2=196$ are $178$ and $187,$ so $a+b+c=1+7+8=16.$

Thus, the correct answer is C.

19.

El rombo $ABCD,$ con longitud de lado $6,$ se enrolla para formar un cilindro de volumen $6$ pegando $\overline{AB}$ a $\overline{DC}.$ ¿Cuánto vale $\sin(\angle ABC)$ ?

Rhombus $ABCD,$ with side length $6,$ is rolled to form a cylinder of volume $6$ by taping $\overline{AB}$ to $\overline{DC}.$ What is $\sin(\angle ABC)?$

$\dfrac{\pi}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Conceptos:cilindro rombo trigonometría

Nivel de dificultad: 1830

Solución:

Sea $\theta=\angle ABC.$ El círculo de la base tiene circunferencia $6,$ así que su radio es $\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi.$ La altura del cilindro es la altura del rombo $6\sin\theta.$

El volumen es $\pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6,$ así que $\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $\theta=\angle ABC.$ The base circle has circumference $6,$ so its radius is $\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi.$ The height of the cylinder is the rhombus altitude $6\sin\theta.$

The volume is $\pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6,$ so $\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}.$

Thus, the correct answer is A.

20.

El paralelogramo delimitado por las rectas $y=ax+c,$ $y=ax+d,$ $y=bx+c$ y $y=bx+d$ tiene área $18.$ El paralelogramo delimitado por las rectas $y=ax+c,$ $y=ax-d,$ $y=bx+c$ y $y=bx-d$ tiene área $72.$ Dado que $a,$ $b,$ $c$ y $d$ son enteros positivos, ¿cuál es el menor valor posible de $a+b+c+d$ ?

The parallelogram bounded by the lines $y=ax+c,$ $y=ax+d,$ $y=bx+c,$ and $y=bx+d$ has area $18.$ The parallelogram bounded by the lines $y=ax+c,$ $y=ax-d,$ $y=bx+c,$ and $y=bx-d$ has area $72.$ Given that $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers, what is the smallest possible value of $a+b+c+d?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:geometría analítica paralelogramo optimización

Nivel de dificultad: 2040

Solución:

Dos vértices del primer paralelogramo están en $(0,c)$ y $(0,d),$ y los otros dos tienen coordenadas $x$ iguales a $\pm\dfrac{c-d}{b-a}.$ Su área resulta ser $\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}=18.$ El mismo cálculo para el segundo da $\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}=72.$

Así que $(c-d)^2=18|b-a|$ y $(c+d)^2=72|b-a|.$ Restando, $4cd=54|b-a|,$ es decir, $2cd=27|b-a|.$

Por tanto $|b-a|$ es par, así que $a+b$ es mínimo con $\{a,b\}=\{1,3\};$ y $cd$ es un múltiplo de $27,$ así que $c+d$ es mínimo con $\{c,d\}=\{3,9\}.$ Estos satisfacen todas las condiciones, dando $a+b+c+d=1+3+3+9$ $=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Two vertices of the first parallelogram lie at $(0,c)$ and $(0,d),$ and the other two have $x$ -coordinates $\pm\dfrac{c-d}{b-a}.$ Its area works out to $\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}=18.$ The same computation for the second gives $\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}=72.$

So $(c-d)^2=18|b-a|$ and $(c+d)^2=72|b-a|.$ Subtracting, $4cd=54|b-a|,$ i.e. $2cd=27|b-a|.$

Thus $|b-a|$ is even, so $a+b$ is smallest with $\{a,b\}=\{1,3\};$ and $cd$ is a multiple of $27,$ so $c+d$ is smallest with $\{c,d\}=\{3,9\}.$ These satisfy all conditions, giving $a+b+c+d=1+3+3+9$ $=16.$

Thus, the correct answer is D.

21.

Los primeros $2007$ enteros positivos se escriben cada uno en base $3.$ ¿Cuántas de estas representaciones en base $3$ son capicúas? (Un capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.)

The first $2007$ positive integers are each written in base $3.$ How many of these base- $3$ representations are palindromes? (A palindrome is a number that reads the same forward and backward.)

$100$

$101$

$102$

$103$

$104$

Conceptos:base numérica palíndromo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2100

Solución:

Un capicúa queda determinado por su primera mitad. Contando los capicúas en base $3$ por longitud se obtienen $2$ de longitud $1$ o $2,$ $6$ de longitud $3$ o $4,$ $18$ de longitud $5$ o $6,$ y $54$ de longitud $7.$

Eso suma $2+2+6+6+18+18$ $+54=106$ capicúas con a lo sumo $7$ dígitos. Como $2007=2202100_3,$ los capicúas de $7$ dígitos mayores que él son $2210122,$ $2211122,$ $2212122,$ $2220222,$ $2221222$ y $2222222,$ que son $6$ de ellos.

Por lo tanto, el conteo es $106-6=100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A palindrome is fixed by its first half. Counting base- $3$ palindromes by length gives $2$ of length $1$ or $2,$ $6$ of length $3$ or $4,$ $18$ of length $5$ or $6,$ and $54$ of length $7.$

That totals $2+2+6+6+18+18$ $+54=106$ palindromes with at most $7$ digits. Since $2007=2202100_3,$ the $7$ -digit palindromes larger than it are $2210122,$ $2211122,$ $2212122,$ $2220222,$ $2221222,$ and $2222222,$ which is $6$ of them.

Therefore the count is $106-6=100.$

Thus, the correct answer is A.

22.

Dos partículas se mueven a lo largo de las aristas del $\triangle ABC$ equilátero en la dirección $A\to B\to C\to A,$ partiendo simultáneamente y moviéndose a la misma velocidad. Una parte de $A,$ y la otra parte del punto medio de $\overline{BC}.$ El punto medio del segmento que une las dos partículas traza una trayectoria que encierra una región $R.$ ¿Cuál es la razón entre el área de $R$ y el área del $\triangle ABC$ ?

Two particles move along the edges of equilateral $\triangle ABC$ in the direction $A\to B\to C\to A,$ starting simultaneously and moving at the same speed. One starts at $A,$ and the other starts at the midpoint of $\overline{BC}.$ The midpoint of the line segment joining the two particles traces out a path that encloses a region $R.$ What is the ratio of the area of $R$ to the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:semejanza razón de áreas baricentro

Nivel de dificultad: 2220

Solución:

Sigue un tercer punto siempre a mitad de camino entre las dos partículas. Entre los momentos en que las partículas están en vértices o puntos medios, ambas se mueven linealmente, así que el punto medio también se mueve linealmente, trazando segmentos rectos que forman un pequeño triángulo $XYZ.$

Por simetría, $XYZ$ comparte su centro con el $\triangle ABC.$ Si $O$ es ese centro y $F$ es el punto medio de un lado, entonces $\begin{aligned} OZ&=OC-ZC \\ &=\dfrac23 CF-\dfrac12 CF \\ &=\dfrac16 CF, \end{aligned}$ mientras que $OC=\dfrac23 CF.$

Así que la razón de circunradios es $\dfrac{OZ}{OC}=\dfrac14,$ y la razón de áreas es $\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{1}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Track a third point always halfway between the two particles. Between the moments when the particles are at vertices/midpoints, both particles move linearly, so the midpoint moves linearly too, tracing straight segments that form a small triangle $XYZ.$

By symmetry $XYZ$ shares its center with $\triangle ABC.$ If $O$ is that center and $F$ is the midpoint of a side, then $\begin{aligned} OZ&=OC-ZC \\ &=\dfrac23 CF-\dfrac12 CF \\ &=\dfrac16 CF, \end{aligned}$ while $OC=\dfrac23 CF.$

So the ratio of circumradii is $\dfrac{OZ}{OC}=\dfrac14,$ and the area ratio is $\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{1}{16}.$

Thus, the correct answer is A.

23.

¿Cuántos triángulos rectángulos no congruentes con longitudes de catetos enteras positivas tienen áreas numéricamente iguales a $3$ veces sus perímetros?

How many non-congruent right triangles with positive integer leg lengths have areas that are numerically equal to $3$ times their perimeters?

$6$

$7$

$8$

$10$

$12$

Conceptos:triángulo rectángulo Ecuación diofántica Truco de factorización favorito de Simon

Nivel de dificultad: 2140

Solución:

Sean los catetos $a\le b.$ La condición es $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right),$ así que $ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}.$

Elevar al cuadrado y simplificar da $ab(ab-12a-12b+72)=0,$ por lo tanto $(a-12)(b-12)=72.$ Las soluciones enteras positivas son $(a,b)=(3,4),$ $(13,84),$ $(14,48),$ $(15,36),$ $(16,30),$ $(18,24),$ $(20,21).$

El par $(3,4)$ es extraño (su área $6$ no es igual a $3$ veces su perímetro $12$ ), así que exactamente $6$ triángulos funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the legs be $a\le b.$ The condition is $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right),$ so $ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}.$

Squaring and simplifying gives $ab(ab-12a-12b+72)=0,$ hence $(a-12)(b-12)=72.$ The positive integer solutions are $(a,b)=(3,4),$ $(13,84),$ $(14,48),$ $(15,36),$ $(16,30),$ $(18,24),$ $(20,21).$

The pair $(3,4)$ is extraneous (its area $6$ does not equal $3$ times its perimeter $12$ ), so exactly $6$ triangles work.

Thus, the correct answer is A.

24.

¿Cuántos pares de enteros positivos $(a,b)$ hay tales que $\gcd(a,b)=1$ y $\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}$ es un entero?

How many pairs of positive integers $(a,b)$ are there such that $\gcd(a,b)=1$ and $\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}$ is an integer?

$4$

$6$

$9$

$12$

infinitos

infinitely many

Conceptos:divisibilidad máximo común divisor análisis por casos

Nivel de dificultad: 2340

Solución:

Sea $k$ el valor entero de la expresión original. Multiplicando por $b$ y restando $a$ se obtiene $\dfrac{14b^2}{9a}=bk-a,$ un entero. Como $\gcd(a,b)=1,$ se sigue que $a\mid14.$ Multiplicando en cambio por $9a$ y restando $14b$ se obtiene $\dfrac{9a^2}{b}=9ak-14b,$ así que $b\mid9.$

Por tanto $a\in\{1,2,7,14\}$ y $b\in\{1,3,9\}.$ Comprobando los candidatos coprimos, la expresión es un entero solo para $(a,b)=(1,3),$ $(2,3),$ $(7,3),$ $(14,3).$

Así que hay $4$ tales pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $k$ be the integer value of the original expression. Multiplying by $b$ and subtracting $a$ gives $\dfrac{14b^2}{9a}=bk-a,$ an integer. Since $\gcd(a,b)=1,$ it follows that $a\mid14.$ Multiplying instead by $9a$ and subtracting $14b$ gives $\dfrac{9a^2}{b}=9ak-14b,$ so $b\mid9.$

Thus $a\in\{1,2,7,14\}$ and $b\in\{1,3,9\}.$ Checking the coprime candidates, the expression is an integer only for $(a,b)=(1,3),$ $(2,3),$ $(7,3),$ $(14,3).$

So there are $4$ such pairs.

Thus, the correct answer is A.

25.

Los puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D$ y $E$ están ubicados en el espacio de $3$ dimensiones con $AB=BC=CD$ $=DE=EA=2$ y $\angle ABC=\angle CDE$ $=\angle DEA=90^\circ.$ El plano del $\triangle ABC$ es paralelo a $\overline{DE}.$ ¿Cuál es el área del $\triangle BDE$ ?

Points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E$ are located in $3$ -dimensional space with $AB=BC=CD$ $=DE=EA=2$ and $\angle ABC=\angle CDE$ $=\angle DEA=90^\circ.$ The plane of $\triangle ABC$ is parallel to $\overline{DE}.$ What is the area of $\triangle BDE?$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

Conceptos:Geometría 3D geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Establece $D=(-1,0,0)$ y $E=(1,0,0),$ y deja que el $\triangle ABC$ esté en el plano $z=k\gt0.$ Como $\angle CDE$ y $\angle DEA$ son ángulos rectos, $A$ y $C$ están en círculos de radio $2$ centrados en $E$ y $D$ en los planos $x=1$ y $x=-1,$ así que $A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k)$ con $y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.$

Como $\angle ABC=90^\circ,$ $AC=2\sqrt2,$ lo que fuerza $y_1=-y_2.$ Tomando $y_1=1,$ $y_2=-1,$ se obtiene $k=\sqrt3,$ así que $A=(1,1,\sqrt3),$ $C=(-1,-1,\sqrt3),$ y $B$ es $(1,-1,\sqrt3)$ o $(-1,1,\sqrt3).$

En el primer caso $BE=2$ con $BE\perp DE;$ en el segundo $BD=2$ con $BD\perp DE.$ En cualquier caso el $\triangle BDE$ tiene catetos $2$ y $2,$ así que su área es $\tfrac12(2)(2)=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Set $D=(-1,0,0)$ and $E=(1,0,0),$ and let $\triangle ABC$ lie in the plane $z=k\gt0.$ Because $\angle CDE$ and $\angle DEA$ are right angles, $A$ and $C$ lie on radius- $2$ circles centered at $E$ and $D$ in the planes $x=1$ and $x=-1,$ so $A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k)$ with $y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.$

Since $\angle ABC=90^\circ,$ $AC=2\sqrt2,$ which forces $y_1=-y_2.$ Taking $y_1=1,$ $y_2=-1,$ gives $k=\sqrt3,$ so $A=(1,1,\sqrt3),$ $C=(-1,-1,\sqrt3),$ and $B$ is $(1,-1,\sqrt3)$ or $(-1,1,\sqrt3).$

In the first case $BE=2$ with $BE\perp DE;$ in the second $BD=2$ with $BD\perp DE.$ Either way $\triangle BDE$ has legs $2$ and $2,$ so its area is $\tfrac12(2)(2)=2.$

Thus, the correct answer is C.