Si 60^a=3 y 60^b=5, entonces 12^(1-a-b)/(2(1-b)) es

1983 AMC 12 Problema 25 — Solución

1983 AMC 12 Problema 25

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25.

Si $60^a=3$ y $60^b=5,$ entonces $12^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}}$ es

If $60^a=3$ and $60^b=5,$ then $12^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}}$ is

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt5$

$3$

$\sqrt{12}$

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Expresa $1-a-b$ y $1-b$ como logaritmos en base $60$

Express $1-a-b$ and $1-b$ as base- $60$ logarithms

Pista grande:

Usa $1-a-b=\log_{60}4$ y $1-b=\log_{60}12$

Use $1-a-b=\log_{60}4$ and $1-b=\log_{60}12$

Solución:

Como $a=\log_{60}3$ y $b=\log_{60}5,$ $\begin{aligned} 1-a-b &=\log_{60}\frac{60}{15}=\log_{60}4,\\ 1-b &=\log_{60}\frac{60}{5}=\log_{60}12. \end{aligned}$ Por tanto, el exponente es $\frac12\log_{12}4,$ y $12^{(\frac{1}{2})\log_{12}4}=\sqrt4=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $a=\log_{60}3$ and $b=\log_{60}5,$ $\begin{aligned} 1-a-b &=\log_{60}\frac{60}{15}=\log_{60}4,\\ 1-b &=\log_{60}\frac{60}{5}=\log_{60}12. \end{aligned}$ Therefore the exponent is $\frac12\log_{12}4,$ and $12^{(\frac{1}{2})\log_{12}4}=\sqrt4=2.$

Therefore, the correct answer is B.

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