Question

La probabilidad de que ocurra el evento $A$ es $\frac34;$ la probabilidad de que ocurra el evento $B$ es $\frac23.$ Sea $p$ la probabilidad de que ocurran tanto $A$ como $B.$ El menor intervalo que necesariamente contiene a $p$ es

The probability that event $A$ occurs is $\frac34;$ the probability that event $B$ occurs is $\frac23.$ Let $p$ be the probability that both $A$ and $B$ occur. The smallest interval necessarily containing $p$ is the interval

$[\frac1{12},\frac12]$

$[\frac5{12},\frac12]$

$[\frac12,\frac23]$

$[\frac5{12},\frac23]$

$[\frac1{12},\frac23]$

Respuesta: D

Conceptos:inclusión-exclusión desigualdad

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Aplica inclusión-exclusión a los eventos $A$ y $B$

Apply inclusion-exclusion to events $A$ and $B$

Pista grande:

Acota $P(A\cup B)$ entre $\max(P(A),P(B))$ y $1$

Bound $P(A\cup B)$ between $\max(P(A),P(B))$ and $1$

Solución:

La inclusión-exclusión da $\begin{aligned} p&=P(A\cap B)\\ &=\frac34+\frac23-P(A\cup B). \end{aligned}$ Como $\frac{3}{4}\le P(A\cup B)\le1,$ se sigue que $\frac5{12}\le p\le\frac23.$ Ambos extremos pueden darse, así que este es el menor intervalo necesario.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Inclusion-exclusion gives $\begin{aligned} p&=P(A\cap B)\\ &=\frac34+\frac23-P(A\cup B). \end{aligned}$ Since $\frac{3}{4}\le P(A\cup B)\le1,$ it follows that $\frac5{12}\le p\le\frac23.$ Both endpoints can occur, so this is the smallest necessary interval.

Therefore, the correct answer is D.

1983 AMC 12 Problema 26

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años