Question

Sean $a,$ $b,$ $c$ y $d$ las longitudes de los lados $MN,$ $NP,$ $PQ$ y $QM,$ respectivamente, del cuadrilátero $MNPQ.$ Si $A$ es el área de $MNPQ,$ entonces

Let $a,$ $b,$ $c$ and $d$ be the lengths of sides $MN,$ $NP,$ $PQ$ and $QM,$ respectively, of quadrilateral $MNPQ.$ If $A$ is the area of $MNPQ,$ then

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ si y solo si $MNPQ$ es convexo

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is convex

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ si y solo si $MNPQ$ es un rectángulo

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a rectangle

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ si y solo si $MNPQ$ es un rectángulo

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a rectangle

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ si y solo si $MNPQ$ es un paralelogramo

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a parallelogram

$A\ge\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ si y solo si $MNPQ$ es un paralelogramo

$A\ge\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a parallelogram

Respuesta: B

Conceptos:área desigualdad rectángulo

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Divide el cuadrilátero por cada diagonal y acota cada seno por $1$

Split the quadrilateral along each diagonal and bound every sine by $1$

Pista grande:

Combina las dos cotas de área y analiza cuándo todas se alcanzan con igualdad

Combine the two resulting area bounds and analyze when every bound is an equality

Solución:

Al dividir por la diagonal $MP$ y usar $\sin\theta\le1$ se obtiene $A\le\frac{ab+cd}{2}.$ Al dividir por $NQ$ se obtiene de modo análogo $A\le\frac{ad+bc}{2}.$ Estas cotas siguen siendo válidas para un cuadrilátero no convexo al tomar la diferencia apropiada de las áreas de los triángulos. Al sumarlas se obtiene $\begin{aligned} 2A&\le\frac{ab+ad+bc+cd}{2}\\ &=\frac{(a+c)(b+d)}2, \end{aligned}$ o bien $A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right).$ Para que haya igualdad, las cuatro cotas de los senos deben ser igualdades, por lo que los cuatro ángulos son rectos; recíprocamente, un rectángulo da la igualdad. Así, la igualdad se cumple exactamente para los rectángulos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Splitting along diagonal $MP$ and using $\sin\theta\le1$ gives $A\le\frac{ab+cd}{2}.$ Splitting along $NQ$ similarly gives $A\le\frac{ad+bc}{2}.$ These bounds remain valid for a nonconvex quadrilateral by taking the appropriate difference of triangle areas. Adding them yields $\begin{aligned} 2A&\le\frac{ab+ad+bc+cd}{2}\\ &=\frac{(a+c)(b+d)}2, \end{aligned}$ or $A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right).$ Equality requires equality in all four sine bounds, so all four angles are right angles; conversely a rectangle gives equality. Thus the equality holds exactly for rectangles.

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 Problema 26

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años