Question

En el círculo mostrado, $M$ es el punto medio del arco $\overset{\frown}{CAB},$ y el segmento $MP$ es perpendicular a la cuerda $AB$ en $P.$ Si la cuerda $AC$ mide $x$ y el segmento $AP$ mide $x+1,$ entonces el segmento $PB$ mide:

In the circle shown, $M$ is the midpoint of arc $\overset{\frown}{CAB},$ and segment $MP$ is perpendicular to chord $AB$ at $P.$ If the measure of chord $AC$ is $x$ and that of segment $AP$ is $x+1,$ then segment $PB$ has measure equal to:

$3x+2$

$3x+1$

$2x+3$

$2x+2$

$2x+1$

Respuesta: E

Conceptos:arco cuerda rectángulo simetría

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Copia el arco $\overset{\frown}{CA}$ como un arco $\overset{\frown}{MN}$ que termine en un punto nuevo $N$ entre $M$ y $B$

Copy arc $\overset{\frown}{CA}$ to an arc $\overset{\frown}{MN}$ ending at a new point $N$ between $M$ and $B$

Pista grande:

Traza $NQ\perp AB$ ; usa los arcos iguales para identificar un rectángulo y segmentos horizontales extremos iguales

Drop $NQ\perp AB$ ; use equal arcs to identify a rectangle and equal horizontal end segments

Solución:

Elige $N$ en el arco $\overset{\frown}{MB}$ de modo que los arcos $\overset{\frown}{MN}$ y $\overset{\frown}{CA}$ sean iguales, y traza $NQ\perp AB.$ Entonces $MN=AC=x.$ Los arcos iguales restantes $\overset{\frown}{AM}$ y $\overset{\frown}{NB}$ dan proyecciones correspondientes iguales sobre la cuerda, por lo que $QB=AP=x+1.$ Además, $MNPQ$ es un rectángulo, así que $PQ=MN=x.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} PB&=PQ+QB\\ &=x+(x+1)\\ &=2x+1. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Choose $N$ on arc $\overset{\frown}{MB}$ so that arcs $\overset{\frown}{MN}$ and $\overset{\frown}{CA}$ are equal, and drop $NQ\perp AB.$ Then $MN=AC=x.$ The remaining equal arcs $\overset{\frown}{AM}$ and $\overset{\frown}{NB}$ give equal corresponding chord projections, so $QB=AP=x+1.$ Also $MNPQ$ is a rectangle, hence $PQ=MN=x.$ Therefore $\begin{aligned} PB&=PQ+QB\\ &=x+(x+1)\\ &=2x+1. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

1972 AMC 12 Problema 26

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años