Question

Si la representación en base $8$ de un cuadrado perfecto es $ab3c,$ donde $a\ne0,$ entonces $c$ es

If the base $8$ representation of a perfect square is $ab3c,$ where $a\ne0,$ then $c$ is

$0$

$1$

$3$

$4$

no se puede determinar de manera única

not uniquely determined

Respuesta: B

Conceptos:aritmética modular cuadrado perfecto base numérica residuo cuadrático

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Módulo $64,$ solo importan las dos últimas cifras en base $8$

Only the last two base- $8$ digits matter modulo $64$

Pista grande:

Enumera los residuos cuadráticos módulo $64$ que están entre $30_8$ y $37_8$

List the quadratic residues modulo $64$ that lie between $30_8$ and $37_8$

Solución:

Las dos últimas cifras octales $3c_8$ representan $24+c\pmod{64}.$ Entre $24,\ldots,31$ , el único cuadrado módulo $64$ es $25.$ Por tanto, $24+c=25,$ así que $c=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The last two octal digits $3c_8$ represent $24+c\pmod{64}.$ Squares modulo $64$ in the range $24,\ldots,31$ include only $25.$ Thus $24+c=25,$ so $c=1.$

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 Problema 26

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años