Question

Supón que $z=a+bi$ es una solución de la ecuación polinómica $\begin{aligned} c_4z^4+ic_3z^3+c_2z^2\\ {}+ic_1z+c_0=0, \end{aligned}$ donde $c_0,$ $c_1,$ $c_2,$ $c_3,$ $c_4,$ $a,$ y $b$ son constantes reales e $i^2=-1.$ ¿Cuál de las siguientes expresiones también debe ser una solución?

Suppose $z=a+bi$ is a solution of the polynomial equation $\begin{aligned} c_4z^4+ic_3z^3+c_2z^2\\ {}+ic_1z+c_0=0, \end{aligned}$ where $c_0,$ $c_1,$ $c_2,$ $c_3,$ $c_4,$ $a,$ and $b$ are real constants and $i^2=-1.$ Which one of the following must also be a solution?

$-a-bi$

$a-bi$

$-a+bi$

$b+ai$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:número complejo simetría (álgebra)polinomio

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Conjuga toda la ecuación

Conjugate the entire equation

Pista grande:

Compara la ecuación conjugada en $\bar z$ con el polinomio original evaluado en $-\bar z$

Compare the conjugated equation at $\bar z$ with the original polynomial evaluated at $-\bar z$

Solución:

Al conjugar la ecuación, cada $i$ cambia a $-i$ y $z$ cambia a $\bar z.$ Como los términos de potencia impar también cambian de signo al negar la variable, esta ecuación conjugada es precisamente el polinomio original evaluado en $-\bar z.$ Por tanto, $-\bar z=-a+bi$ debe ser una raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Conjugating the equation changes each $i$ to $-i$ and $z$ to $\bar z.$ Because the odd-powered terms also change sign when the input is negated, this conjugated equation is precisely the original polynomial evaluated at $-\bar z.$ Thus $-\bar z=-a+bi$ must be a root.

Therefore, the correct answer is C.

1982 AMC 12 Problema 27

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años