Question

Sea $a\mathbin{@}b$ la operación sobre dos números, $a$ y $b,$ que selecciona el mayor de los dos, con $a\mathbin{@}a=a.$ Sea $a\mathbin{!}b$ la operación que selecciona el menor de los dos números, con $a\mathbin{!}a=a.$ ¿Cuál o cuáles de las siguientes tres reglas son correctas? $\begin{aligned} (1)\quad&a\mathbin{@}b=b\mathbin{@}a,\\ (2)\quad&a\mathbin{@}(b\mathbin{@}c)=(a\mathbin{@}b)\mathbin{@}c,\\ (3)\quad&a\mathbin{!}(b\mathbin{@}c)\\ &\quad=(a\mathbin{!}b)\mathbin{@}(a\mathbin{!}c). \end{aligned}$

Let $a\mathbin{@}b$ represent the operation on two numbers, $a$ and $b,$ which selects the larger of the two numbers, with $a\mathbin{@}a=a.$ Let $a\mathbin{!}b$ represent the operation which selects the smaller of the two numbers, with $a\mathbin{!}a=a.$ Which of the following three rules is (are) correct? $\begin{aligned} (1)\quad&a\mathbin{@}b=b\mathbin{@}a,\\ (2)\quad&a\mathbin{@}(b\mathbin{@}c)=(a\mathbin{@}b)\mathbin{@}c,\\ (3)\quad&a\mathbin{!}(b\mathbin{@}c)\\ &\quad=(a\mathbin{!}b)\mathbin{@}(a\mathbin{!}c). \end{aligned}$

solo $(1)$

$(1)$ only

solo $(2)$

$(2)$ only

solo $(1)$ y $(2)$

$(1)$ and $(2)$ only

solo $(1)$ y $(3)$

$(1)$ and $(3)$ only

las tres

all three

Respuesta: E

Conceptos:operación personalizada propiedad distributiva análisis por casos

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Interpreta $\mathbin{@}$ como máximo y $\mathbin{!}$ como mínimo

Translate $\mathbin{@}$ as maximum and $\mathbin{!}$ as minimum

Pista grande:

Para la regla $(3),$ compara ambos lados por separado cuando $a$ está por debajo o por encima de $\max(b,c)$

For rule $(3),$ compare both sides separately when $a$ is below or above $\max(b,c)$

Solución:

El máximo es conmutativo y asociativo, así que $(1)$ y $(2)$ se cumplen. La regla $(3)$ es la identidad distributiva $\begin{aligned} &\min(a,\max(b,c))\\ &\quad=\max(\min(a,b),\min(a,c)). \end{aligned}$ Si $a\ge\max(b,c),$ ambos lados son iguales a $\max(b,c);$ si $a\lt\max(b,c),$ ambos lados son iguales a $a.$ Por tanto, $(3)$ también se cumple.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Maximum is commutative and associative, so $(1)$ and $(2)$ hold. Rule $(3)$ is the distributive identity $\begin{aligned} &\min(a,\max(b,c))\\ &\quad=\max(\min(a,b),\min(a,c)). \end{aligned}$ If $a\ge\max(b,c),$ both sides equal $\max(b,c);$ if $a\lt\max(b,c),$ both sides equal $a.$ Thus $(3)$ also holds.

Therefore, the correct answer is E.

1962 AMC 12 Problema 27

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años