Question

Un cubo de queso $C=\{(x,y,z)\mid0\le x,y,z\le1\}$ se corta por los planos $x=y,$ $y=z,$ y $z=x.$ ¿Cuántas piezas se obtienen? (No se mueve el queso hasta haber realizado los tres cortes.)

A cube of cheese $C=\{(x,y,z)\mid0\le x,y,z\le1\}$ is cut along the planes $x=y,$ $y=z,$ and $z=x.$ How many pieces are there? (No cheese is moved until all three cuts are made.)

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: B

Conceptos:three-dimensional geometry coordinate ordering permutaciones

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Dentro de una misma pieza, el orden relativo de $x,y,z$ no puede cambiar

Within one piece, the relative order of $x,y,z$ cannot change

Pista grande:

Cuenta los ordenamientos estrictos de tres coordenadas distintas

Count the strict orderings of three distinct coordinates

Solución:

Los tres planos son precisamente las fronteras donde dos coordenadas son iguales. Fuera de ellos, cada pieza queda determinada por un orden estricto de $x,y,z,$ como $x\lt y\lt z.$ Cada uno de los $3!=6$ ordenamientos aparece dentro del cubo, así que hay $6$ piezas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The three planes are precisely the boundaries where two coordinates are equal. Away from them, each piece is determined by a strict ordering of $x,y,z,$ such as $x\lt y\lt z.$ Every one of the $3!=6$ orderings occurs inside the cube, so there are $6$ pieces.

Thus the correct answer is B.

1987 AMC 12 Problema 27

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años