Question

La suma $\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$ es igual a

The sum $\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$ equals

$\frac32$

$\frac{\sqrt[3]{65}}4$

$\frac{1+\sqrt[6]{13}}2$

$\sqrt[3]2$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: E

Conceptos:radical suma y diferencia de cubos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Llama $u$ y $v$ a las dos raíces cúbicas y calcula $uv$

Call the two cube roots $u$ and $v$ , and compute $uv$

Pista grande:

Usa $(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$

Use $(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$

Solución:

Sean $u$ y $v$ las dos raíces cúbicas reales. Entonces $\begin{aligned} uv&=\sqrt[3]{25-52}=-3,\\ u^3+v^3&=10. \end{aligned}$ Si $t=u+v,$ entonces $t^3=10-9t,$ así que $\begin{gathered} t^3+9t-10\\ =(t-1)(t^2+t+10)\\ =0. \end{gathered}$ La única solución real es $t=1,$ que no aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the two real cube roots be $u$ and $v.$ Then $\begin{aligned} uv&=\sqrt[3]{25-52}=-3,\\ u^3+v^3&=10. \end{aligned}$ If $t=u+v,$ then $t^3=10-9t,$ so $\begin{gathered} t^3+9t-10\\ =(t-1)(t^2+t+10)\\ =0. \end{gathered}$ The only real solution is $t=1,$ which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

1980 AMC 12 Problema 27

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años