Question

下式 $\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$ 等于

The sum $\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$ equals

$\frac32$

$\frac{\sqrt[3]{65}}4$

$\frac{1+\sqrt[6]{13}}2$

$\sqrt[3]2$

以上都不是

none of these

答案：E

知识点：根式立方和与立方差代数变形

难度评级：2200

小提示：

把两个立方根分别记为 $u$ 和 $v$ ，并计算 $uv$

Call the two cube roots $u$ and $v$ , and compute $uv$

大提示：

利用 $(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$

Use $(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$

解答：

设两个实立方根分别为 $u$ 和 $v$ 。则 $\begin{aligned} uv&=\sqrt[3]{25-52}=-3,\\ u^3+v^3&=10 \end{aligned}\text{。}$ 若 $t=u+v$ ，则 $t^3=10-9t$ ，所以 $\begin{gathered} t^3+9t-10\\ =(t-1)(t^2+t+10)\\ =0 \end{gathered}\text{。}$ 唯一的实数解是 $t=1$ ，但它不在选项中。

因此，正确答案是 E。

Let the two real cube roots be $u$ and $v.$ Then $\begin{aligned} uv&=\sqrt[3]{25-52}=-3,\\ u^3+v^3&=10. \end{aligned}$ If $t=u+v,$ then $t^3=10-9t,$ so $\begin{gathered} t^3+9t-10\\ =(t-1)(t^2+t+10)\\ =0. \end{gathered}$ The only real solution is $t=1,$ which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

1980 AMC 12 第 27 题

答案：E

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题