Question

下列哪一组三个数不可能是一个三角形的三条高的长度？

Which of these triples could not be the lengths of the three altitudes of a triangle?

$1$ ， $\sqrt3$ ， $2$

$1,$ $\sqrt3,$ $2$

$3$ ， $4$ ， $5$

$3,$ $4,$ $5$

$5$ ， $12$ ， $13$

$5,$ $12,$ $13$

$7$ ， $8$ ， $\sqrt{113}$

$7,$ $8,$ $\sqrt{113}$

$8$ ， $15$ ， $17$

$8,$ $15,$ $17$

答案：C

知识点：三角不等式高线 reciprocal

难度评级：2380

小提示：

对于固定的面积 $K$ ，与高 $h$ 对应的边长等于 $\frac{2K}{h}$

For fixed area $K,$ a side corresponding to altitude $h$ equals $\frac{2K}{h}$

大提示：

检验每组数的倒数是否满足三角不等式

Test the triangle inequality on the reciprocals of each triple

解答：

若三条高为 $h_1,h_2,h_3$ ，则对应的三条边长分别与 $\frac{1}{h_1},\frac{1}{h_2},\frac{1}{h_3}$ 成正比。对于 $5,12,13$ ， $\frac15\gt\frac1{12}+\frac1{13}\text{，}$ 所以它们的倒数不满足三角不等式。直接检验可知，其余各组数的倒数都满足所有严格的三角不等式。

所以正确答案是 C。

If the altitudes are $h_1,h_2,h_3,$ then the corresponding sides are proportional to $\frac{1}{h_1},\frac{1}{h_2},\frac{1}{h_3}.$ For $5,12,13,$ $\frac15\gt\frac1{12}+\frac1{13},$ so the reciprocals fail the triangle inequality. Direct checking shows that the reciprocals of each other listed triple satisfy all strict triangle inequalities.

Thus the correct answer is C.

1990 AMC 12 第 27 题

答案：C

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题