Question

令 $a\mathbin{@}b$ 表示对两个数 $a$ 和 $b$ 取较大者的运算，并规定 $a\mathbin{@}a=a$ 。令 $a\mathbin{!}b$ 表示取两数中较小者的运算，并规定 $a\mathbin{!}a=a$ 。以下三条法则中哪些正确？ $\begin{aligned} (1)\quad&a\mathbin{@}b=b\mathbin{@}a,\\ (2)\quad&a\mathbin{@}(b\mathbin{@}c)=(a\mathbin{@}b)\mathbin{@}c,\\ (3)\quad&a\mathbin{!}(b\mathbin{@}c)\\ &\quad=(a\mathbin{!}b)\mathbin{@}(a\mathbin{!}c) \end{aligned}\text{。}$

Let $a\mathbin{@}b$ represent the operation on two numbers, $a$ and $b,$ which selects the larger of the two numbers, with $a\mathbin{@}a=a.$ Let $a\mathbin{!}b$ represent the operation which selects the smaller of the two numbers, with $a\mathbin{!}a=a.$ Which of the following three rules is (are) correct? $\begin{aligned} (1)\quad&a\mathbin{@}b=b\mathbin{@}a,\\ (2)\quad&a\mathbin{@}(b\mathbin{@}c)=(a\mathbin{@}b)\mathbin{@}c,\\ (3)\quad&a\mathbin{!}(b\mathbin{@}c)\\ &\quad=(a\mathbin{!}b)\mathbin{@}(a\mathbin{!}c). \end{aligned}$

仅 $(1)$

$(1)$ only

仅 $(2)$

$(2)$ only

仅 $(1)$ 和 $(2)$

$(1)$ and $(2)$ only

仅 $(1)$ 和 $(3)$

$(1)$ and $(3)$ only

三条都正确

all three

答案：E

知识点：自定义运算分配律分类讨论

难度评级：1500

小提示：

把 $\mathbin{@}$ 理解为取最大值，把 $\mathbin{!}$ 理解为取最小值

Translate $\mathbin{@}$ as maximum and $\mathbin{!}$ as minimum

大提示：

对法则 $(3)$ ，分别在 $a$ 小于或大于 $\max(b,c)$ 时比较两边

For rule $(3),$ compare both sides separately when $a$ is below or above $\max(b,c)$

解答：

取最大值满足交换律和结合律，所以 $(1)$ 与 $(2)$ 成立。法则 $(3)$ 是分配恒等式 $\begin{aligned} &\min(a,\max(b,c))\\ &\quad=\max(\min(a,b),\min(a,c)) \end{aligned}\text{。}$ 若 $a\ge\max(b,c)$ ，两边都等于 $\max(b,c)$ ；若 $a\lt\max(b,c)$ ，两边都等于 $a$ 。因此 $(3)$ 也成立。

所以正确答案是 E。

Maximum is commutative and associative, so $(1)$ and $(2)$ hold. Rule $(3)$ is the distributive identity $\begin{aligned} &\min(a,\max(b,c))\\ &\quad=\max(\min(a,b),\min(a,c)). \end{aligned}$ If $a\ge\max(b,c),$ both sides equal $\max(b,c);$ if $a\lt\max(b,c),$ both sides equal $a.$ Thus $(3)$ also holds.

Therefore, the correct answer is E.

1962 AMC 12 第 27 题

答案：E

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题